Номер 416, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

416. Последовательность задана рекуррентным способом:

а) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 2;$

б) $b_1 = -5, b_{n+1} = 2 \cdot b_n;$

в) $c_1 = 8, c_{n+1} = c_n - 4;$

г) $x_1 = 9, x_{n+1} = 0,3 \cdot x_n.$

Задайте последовательность формулой n-го члена, вычислите пять первых её членов.

а) Дана последовательность $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2$.

Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Первый член прогрессии $a_1 = 3$, а разность прогрессии $d = 2$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $a_n = 2n + 1$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$a_1 = 3$

$a_2 = a_1 + 2 = 3 + 2 = 5$

$a_3 = a_2 + 2 = 5 + 2 = 7$

$a_4 = a_3 + 2 = 7 + 2 = 9$

$a_5 = a_4 + 2 = 9 + 2 = 11$

Ответ: формула $n$-го члена $a_n = 2n + 1$; первые пять членов: 3, 5, 7, 9, 11.

б) Дана последовательность $b_1 = -5$, $b_{n+1} = 2 \cdot b_n$.

Эта последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число. Первый член прогрессии $b_1 = -5$, а знаменатель прогрессии $q = 2$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения:

$b_n = -5 \cdot 2^{n-1}$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $b_n = -5 \cdot 2^{n-1}$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$b_1 = -5$

$b_2 = b_1 \cdot 2 = -5 \cdot 2 = -10$

$b_3 = b_2 \cdot 2 = -10 \cdot 2 = -20$

$b_4 = b_3 \cdot 2 = -20 \cdot 2 = -40$

$b_5 = b_4 \cdot 2 = -40 \cdot 2 = -80$

Ответ: формула $n$-го члена $b_n = -5 \cdot 2^{n-1}$; первые пять членов: -5, -10, -20, -40, -80.

в) Дана последовательность $c_1 = 8$, $c_{n+1} = c_n - 4$.

Эта последовательность является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии $c_1 = 8$, а разность прогрессии $d = -4$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения:

$c_n = 8 + (n-1) \cdot (-4) = 8 - 4n + 4 = 12 - 4n$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $c_n = 12 - 4n$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$c_1 = 8$

$c_2 = c_1 - 4 = 8 - 4 = 4$

$c_3 = c_2 - 4 = 4 - 4 = 0$

$c_4 = c_3 - 4 = 0 - 4 = -4$

$c_5 = c_4 - 4 = -4 - 4 = -8$

Ответ: формула $n$-го члена $c_n = 12 - 4n$; первые пять членов: 8, 4, 0, -4, -8.

г) Дана последовательность $x_1 = 9$, $x_{n+1} = 0,3 \cdot x_n$.

Эта последовательность является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $x_1 = 9$, а знаменатель прогрессии $q = 0,3$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим наши значения:

$x_n = 9 \cdot (0,3)^{n-1}$.

Таким образом, формула $n$-го члена последовательности: $x_n = 9 \cdot (0,3)^{n-1}$.

Вычислим первые пять членов последовательности:

$x_1 = 9$

$x_2 = x_1 \cdot 0,3 = 9 \cdot 0,3 = 2,7$

$x_3 = x_2 \cdot 0,3 = 2,7 \cdot 0,3 = 0,81$

$x_4 = x_3 \cdot 0,3 = 0,81 \cdot 0,3 = 0,243$

$x_5 = x_4 \cdot 0,3 = 0,243 \cdot 0,3 = 0,0729$

Ответ: формула $n$-го члена $x_n = 9 \cdot (0,3)^{n-1}$; первые пять членов: 9; 2,7; 0,81; 0,243; 0,0729.