Номер 422, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

422. Сколько отрицательных членов имеет последовательность, заданная формулой общего члена:

а) $a_n = n^2 - 12n + 27;$

б) $a_n = n^2 - 20n + 75?$

а) Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 12n + 27$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 12n + 27 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - 12n + 27 = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$

$n_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = 3$

$n_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = 9$

Графиком функции $y = n^2 - 12n + 27$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, значения функции будут отрицательными между корнями.

Таким образом, решение неравенства $n^2 - 12n + 27 < 0$ есть интервал $(3; 9)$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдем все натуральные числа, которые принадлежат интервалу $(3; 9)$:

Это числа 4, 5, 6, 7, 8.

Всего таких чисел 5. Значит, последовательность имеет 5 отрицательных членов.

Ответ: 5.

б) Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 20n + 75$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 20n + 75 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 20n + 75 = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100$

$n_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 10}{2} = 5$

$n_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 10}{2} = 15$

Графиком функции $y = n^2 - 20n + 75$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.

Решением неравенства $n^2 - 20n + 75 < 0$ является интервал $(5; 15)$.

Найдем все натуральные числа $n$, которые принадлежат этому интервалу:

Это числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Количество таких чисел равно $14 - 6 + 1 = 9$. Значит, последовательность имеет 9 отрицательных членов.

Ответ: 9.