Номер 418, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

418. В предыдущем задании задайте последовательность формулой $n$-го члена, вычислите её девятый член.

Последовательность двузначных чисел, взятых в порядке возрастания: 10, 11, 12, ... .

Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 10$, а разность $d = 1$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения для данной последовательности: $a_n = 10 + (n-1) \cdot 1 = 10 + n - 1 = n + 9$.

Таким образом, формула n-го члена последовательности: $a_n = n + 9$.

Чтобы вычислить девятый член последовательности, подставим $n=9$ в полученную формулу:

$a_9 = 9 + 9 = 18$.

Ответ: формула n-го члена $a_n = n + 9$; девятый член равен 18.

Последовательность кубов натуральных чисел: $1^3, 2^3, 3^3, \dots$, то есть 1, 8, 27, ... .

Каждый член этой последовательности с номером $n$ является кубом этого номера.

Следовательно, формула n-го члена последовательности: $b_n = n^3$.

Вычислим девятый член последовательности, подставив $n=9$ в формулу:

$b_9 = 9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$.

Ответ: формула n-го члена $b_n = n^3$; девятый член равен 729.

Последовательность натуральных чисел, которые делятся на 3 и на 5.

Число, которое делится одновременно на 3 и на 5, должно быть кратно их наименьшему общему кратному. $НОК(3, 5) = 15$.

Значит, это последовательность натуральных чисел, кратных 15: 15, 30, 45, 60, ... .

n-й член этой последовательности равен произведению 15 на номер члена $n$.

Таким образом, формула n-го члена последовательности: $c_n = 15n$.

Вычислим девятый член последовательности, подставив $n=9$ в формулу:

$c_9 = 15 \cdot 9 = 135$.

Ответ: формула n-го члена $c_n = 15n$; девятый член равен 135.

Последовательность натуральных чисел, дающих при делении на 4 остаток 3.

Выпишем первые несколько членов этой последовательности, чтобы найти закономерность: 3, 7, 11, 15, ... .

Это арифметическая прогрессия. Её первый член $d_1 = 3$, а разность $d = 7-3 = 4$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $d_n = d_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения: $d_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.

Итак, формула n-го члена последовательности: $d_n = 4n - 1$.

Вычислим девятый член последовательности, подставив $n=9$ в формулу:

$d_9 = 4 \cdot 9 - 1 = 36 - 1 = 35$.

Ответ: формула n-го члена $d_n = 4n - 1$; девятый член равен 35.