Номер 415, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

415. Последовательность задана рекуррентным способом:

а) $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3;$

б) $b_1 = -2, b_{n+1} = 5 \cdot b_n;$

в) $c_1 = 4, c_{n+1} = c_n - 8;$

г) $x_1 = 8, x_{n+1} = 0,25 \cdot x_n.$

Запишите пять первых её членов.

Чтобы найти первые пять членов каждой последовательности, заданной рекуррентным способом, мы используем данный первый член и формулу для нахождения каждого следующего члена через предыдущий.

а)

Последовательность задана первым членом $a_1 = 2$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + 3$. Это означает, что каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением числа 3. Такая последовательность является арифметической прогрессией.

Вычислим первые пять членов:

$a_1 = 2$ (задан)

$a_2 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$

$a_3 = a_2 + 3 = 5 + 3 = 8$

$a_4 = a_3 + 3 = 8 + 3 = 11$

$a_5 = a_4 + 3 = 11 + 3 = 14$

Ответ: 2, 5, 8, 11, 14.

б)

Последовательность задана первым членом $b_1 = -2$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = 5 \cdot b_n$. Это означает, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на 5. Такая последовательность является геометрической прогрессией.

Вычислим первые пять членов:

$b_1 = -2$ (задан)

$b_2 = 5 \cdot b_1 = 5 \cdot (-2) = -10$

$b_3 = 5 \cdot b_2 = 5 \cdot (-10) = -50$

$b_4 = 5 \cdot b_3 = 5 \cdot (-50) = -250$

$b_5 = 5 \cdot b_4 = 5 \cdot (-250) = -1250$

Ответ: -2, -10, -50, -250, -1250.

в)

Последовательность задана первым членом $c_1 = 4$ и рекуррентной формулой $c_{n+1} = c_n - 8$. Это означает, что каждый следующий член получается вычитанием 8 из предыдущего. Это арифметическая прогрессия.

Вычислим первые пять членов:

$c_1 = 4$ (задан)

$c_2 = c_1 - 8 = 4 - 8 = -4$

$c_3 = c_2 - 8 = -4 - 8 = -12$

$c_4 = c_3 - 8 = -12 - 8 = -20$

$c_5 = c_4 - 8 = -20 - 8 = -28$

Ответ: 4, -4, -12, -20, -28.

г)

Последовательность задана первым членом $x_1 = 8$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = 0,25 \cdot x_n$. Это означает, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на 0,25 (или 1/4). Это геометрическая прогрессия.

Вычислим первые пять членов:

$x_1 = 8$ (задан)

$x_2 = 0,25 \cdot x_1 = 0,25 \cdot 8 = 2$

$x_3 = 0,25 \cdot x_2 = 0,25 \cdot 2 = 0,5$

$x_4 = 0,25 \cdot x_3 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$

$x_5 = 0,25 \cdot x_4 = 0,25 \cdot 0,125 = 0,03125$

Ответ: 8; 2; 0,5; 0,125; 0,03125.