Номер 419, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

419. Числовая последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = 5n;$

б) $b_n = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n;$

в) $c_n = (-0,5)^n.$

Задайте последовательность рекуррентным способом.

а)

Чтобы задать последовательность $a_n = 5n$ рекуррентным способом, необходимо найти ее первый член и выразить $n$-й член через предыдущий.

1. Найдем первый член последовательности, подставив $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = 5 \cdot 1 = 5$.

2. Выразим $n$-й член $a_n$ через предыдущий член $a_{n-1}$.
Формула для $(n-1)$-го члена: $a_{n-1} = 5(n-1) = 5n - 5$.
Из исходной формулы мы знаем, что $a_n = 5n$. Мы можем переписать это, используя выражение для $a_{n-1}$:
$a_n = 5n = (5n - 5) + 5 = a_{n-1} + 5$.
Таким образом, мы получили рекуррентную формулу, которая связывает текущий член с предыдущим: $a_n = a_{n-1} + 5$.

Рекуррентное задание последовательности состоит из первого члена и рекуррентной формулы.
Ответ: $a_1 = 5$, $a_n = a_{n-1} + 5$.

б)

Последовательность задана формулой $b_n = 27 \cdot (\frac{1}{3})^n$.

1. Найдем первый член последовательности при $n=1$:
$b_1 = 27 \cdot (\frac{1}{3})^1 = \frac{27}{3} = 9$.

2. Выразим $n$-й член $b_n$ через предыдущий член $b_{n-1}$.
Запишем $(n-1)$-й член:
$b_{n-1} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$.
Преобразуем формулу для $n$-го члена:
$b_n = 27 \cdot (\frac{1}{3})^n = \left(27 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}\right) \cdot \frac{1}{3}$.
Так как $27 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ это $b_{n-1}$, мы можем подставить это в выражение для $b_n$:
$b_n = b_{n-1} \cdot \frac{1}{3}$.

Ответ: $b_1 = 9$, $b_n = \frac{1}{3} b_{n-1}$.

в)

Последовательность задана формулой $c_n = (-0,5)^n$.

1. Найдем первый член последовательности при $n=1$:
$c_1 = (-0,5)^1 = -0,5$.

2. Выразим $n$-й член $c_n$ через предыдущий член $c_{n-1}$.
Запишем $(n-1)$-й член:
$c_{n-1} = (-0,5)^{n-1}$.
Преобразуем формулу для $n$-го члена:
$c_n = (-0,5)^n = (-0,5)^{n-1} \cdot (-0,5)$.
Подставляя выражение для $c_{n-1}$, получаем рекуррентную формулу:
$c_n = c_{n-1} \cdot (-0,5) = -0,5 c_{n-1}$.

Ответ: $c_1 = -0,5$, $c_n = -0,5 c_{n-1}$.