Номер 417, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

417. Последовательность задана первыми членами:

a) 5, 10, 15, 20, ...;

б) 32, 16, 8, 4, ...;

в) 2, -2, 2, -2, ....

Задайте последовательность рекуррентным способом, вычислите её восьмой член.

Рекуррентный способ задания последовательности означает, что каждый следующий член последовательности выражается через один или несколько предыдущих членов. Для задания последовательности таким способом необходимо указать первый член (или несколько первых членов) и формулу для нахождения любого члена, начиная с некоторого номера, через предыдущие.

а) Последовательность: 5, 10, 15, 20, ...

Обозначим члены последовательности через $a_n$. Первый член $a_1 = 5$.

Проанализируем связь между членами. Каждый следующий член получается путем прибавления числа 5 к предыдущему члену:

$a_2 = 10 = 5 + 5 = a_1 + 5$

$a_3 = 15 = 10 + 5 = a_2 + 5$

$a_4 = 20 = 15 + 5 = a_3 + 5$

Данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=5$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $a_{n+1} = a_n + 5$ при начальном условии $a_1 = 5$.

Вычислим восьмой член последовательности $a_8$, продолжая последовательность:

$a_5 = a_4 + 5 = 20 + 5 = 25$

$a_6 = a_5 + 5 = 25 + 5 = 30$

$a_7 = a_6 + 5 = 30 + 5 = 35$

$a_8 = a_7 + 5 = 35 + 5 = 40$

Ответ: Рекуррентная формула: $a_1 = 5, a_{n+1} = a_n + 5$. Восьмой член последовательности $a_8 = 40$.

б) Последовательность: 32, 16, 8, 4, ...

Обозначим члены последовательности через $b_n$. Первый член $b_1 = 32$.

Проанализируем связь между членами. Каждый следующий член получается путем деления предыдущего члена на 2 (или умножения на 1/2):

$b_2 = 16 = 32 / 2 = b_1 / 2$

$b_3 = 8 = 16 / 2 = b_2 / 2$

$b_4 = 4 = 8 / 2 = b_3 / 2$

Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$ при начальном условии $b_1 = 32$.

Вычислим восьмой член последовательности $b_8$:

$b_5 = b_4 / 2 = 4 / 2 = 2$

$b_6 = b_5 / 2 = 2 / 2 = 1$

$b_7 = b_6 / 2 = 1 / 2$

$b_8 = b_7 / 2 = \frac{1}{2} / 2 = \frac{1}{4}$

Ответ: Рекуррентная формула: $b_1 = 32, b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$. Восьмой член последовательности $b_8 = \frac{1}{4}$.

в) Последовательность: 2, -2, 2, -2, ...

Обозначим члены последовательности через $c_n$. Первый член $c_1 = 2$.

Проанализируем связь между членами. Каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на -1:

$c_2 = -2 = 2 \cdot (-1) = c_1 \cdot (-1)$

$c_3 = 2 = -2 \cdot (-1) = c_2 \cdot (-1)$

$c_4 = -2 = 2 \cdot (-1) = c_3 \cdot (-1)$

Данная последовательность является знакочередующейся геометрической прогрессией со знаменателем $q = -1$.

Таким образом, рекуррентная формула имеет вид $c_{n+1} = -c_n$ при начальном условии $c_1 = 2$.

Вычислим восьмой член последовательности $c_8$. Можно заметить, что все члены с нечетными номерами ($c_1, c_3, c_5, ...$) равны 2, а все члены с четными номерами ($c_2, c_4, c_6, ...$) равны -2. Поскольку 8 — четное число, $c_8 = -2$.

Проверим это, продолжая последовательность:

$c_5 = -c_4 = -(-2) = 2$

$c_6 = -c_5 = -(2) = -2$

$c_7 = -c_6 = -(-2) = 2$

$c_8 = -c_7 = -(2) = -2$

Ответ: Рекуррентная формула: $c_1 = 2, c_{n+1} = -c_n$. Восьмой член последовательности $c_8 = -2$.