Номер 424, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

424. Исследуем. Найдите все значения $a$, при каждом из которых последовательность, заданная формулой общего члена

$y_n = n^2 - 20n + 100 - a$, имеет:

a) единственный отрицательный член;

б) ровно пять отрицательных членов;

в) ровно двадцать отрицательных членов.

Дана последовательность, заданная формулой общего члена $y_n = n^2 - 20n + 100 - a$. Заметим, что выражение $n^2 - 20n + 100$ является полным квадратом: $n^2 - 2 \cdot n \cdot 10 + 10^2 = (n - 10)^2$. Таким образом, формулу общего члена можно переписать в виде: $y_n = (n - 10)^2 - a$.

Член последовательности $y_n$ является отрицательным, если выполняется неравенство $y_n < 0$: $(n - 10)^2 - a < 0$ $(n - 10)^2 < a$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$). Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых указанное неравенство имеет определенное количество решений для $n \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим значения выражения $(n - 10)^2$ для натуральных $n$. Это выражение неотрицательно, поэтому для существования отрицательных членов необходимо, чтобы $a > 0$. Минимальное значение выражения достигается при $n=10$ и равно $(10-10)^2 = 0$. Значения $(n-10)^2$ симметричны относительно $n=10$. Давайте выпишем эти значения в порядке возрастания и укажем, при каких $n$ они достигаются:

• $(10-10)^2 = 0$ (для $n=10$) — 1 член.
• $(9-10)^2 = 1$ и $(11-10)^2 = 1$ (для $n=9, 11$) — 2 члена.
• $(8-10)^2 = 4$ и $(12-10)^2 = 4$ (для $n=8, 12$) — 2 члена.
• $(7-10)^2 = 9$ и $(13-10)^2 = 9$ (для $n=7, 13$) — 2 члена.
• ...
• $(1-10)^2 = 81$ и $(19-10)^2 = 81$ (для $n=1, 19$) — 2 члена.
• $(20-10)^2 = 100$. Соответствующее значение $n=10-10=0$ не является натуральным, поэтому только $n=20$ — 1 член.
• $(21-10)^2 = 121$. Только $n=21$ — 1 член.

Теперь решим каждую подзадачу.

а) единственный отрицательный член;

Чтобы последовательность имела ровно один отрицательный член, неравенство $(n - 10)^2 < a$ должно иметь ровно одно решение в натуральных числах. Наименьшее значение выражения $(n - 10)^2$ равно 0 и достигается при $n=10$. Чтобы только этот член был отрицательным, значение $a$ должно быть больше 0, но не больше следующего по величине значения $(n-10)^2$, которое равно 1. Следовательно, должно выполняться условие $0 < a \le 1$. При таких значениях $a$ неравенство $(n - 10)^2 < a$ имеет единственное решение среди целых неотрицательных квадратов: $(n - 10)^2 = 0$, откуда $n=10$.

Ответ: $0 < a \le 1$.

б) ровно пять отрицательных членов;

Чтобы последовательность имела ровно пять отрицательных членов, неравенство $(n - 10)^2 < a$ должно иметь ровно пять решений в натуральных числах. Посчитаем количество членов, дающих наименьшие значения $(n-10)^2$:

• $(n-10)^2 = 0$ (при $n=10$): 1 член.
• $(n-10)^2 = 1$ (при $n=9, 11$): 2 члена. Итого 1+2=3 члена.
• $(n-10)^2 = 4$ (при $n=8, 12$): 2 члена. Итого 3+2=5 членов.

Таким образом, нам нужно, чтобы значения $(n - 10)^2$, равные 0, 1, и 4, были меньше $a$. Это означает, что $a$ должно быть больше 4. Следующее по величине значение $(n-10)^2$ равно 9 (при $n=7, 13$). Чтобы эти члены не были отрицательными, должно выполняться условие $(n-10)^2 \ge a$ для этих $n$. Следовательно, $a$ должно быть не больше 9. Объединяя условия, получаем $4 < a \le 9$.

Ответ: $4 < a \le 9$.

в) ровно двадцать отрицательных членов.

Чтобы последовательность имела ровно двадцать отрицательных членов, неравенство $(n - 10)^2 < a$ должно иметь ровно двадцать решений в натуральных числах. Продолжим подсчет количества отрицательных членов:

• При $n=10$ имеем $(10-10)^2=0$ (1 член).
• При $n = 10 \pm k$ для $k=1, 2, ..., 9$, мы получаем $2 \times 9 = 18$ членов. Все значения $n=10-k$ и $n=10+k$ являются натуральными (от 1 до 19, исключая 10). Значения $(n-10)^2$ равны $1, 4, ..., 81$.

Суммарно это дает $1+18=19$ членов. Для этого $a$ должно быть больше 81. Чтобы получить 20-й отрицательный член, мы должны включить следующее наименьшее значение $(n-10)^2$. Следующее значение $|n-10|$ равно 10. При $|n-10|=10$, имеем $n=10-10=0$ и $n=10+10=20$. Так как $n$ должно быть натуральным числом, подходит только $n=20$. Это дает еще один, 20-й член. Значение $(n-10)^2$ для него равно $(20-10)^2 = 100$. Таким образом, нам нужно, чтобы значения $(n - 10)^2$, равные $0, 1, 4, ..., 81, 100$, были меньше $a$. Это означает, что $a$ должно быть строго больше 100. Следующее по величине значение $(n-10)^2$ соответствует $|n-10|=11$, то есть $n=21$ (так как $n=-1$ не подходит). Оно равно $(21-10)^2 = 121$. Чтобы этот 21-й член не был отрицательным, $a$ должно быть не больше 121. Объединяя условия, получаем $100 < a \le 121$.

Ответ: $100 < a \le 121$.