Номер 429, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

429. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = -2n + 1$;

б) $b_n = (0,2)^n$;

в) $c_n = 3 - (1,1)^n$;

г) $a_n = 3 - 2n$;

д) $b_n = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$;

е) $c_n = -16 \cdot 2^n$.

Докажите, что последовательность является убывающей и ограниченной сверху.

а) Последовательность задана формулой $a_n = -2n + 1$.
1. Доказательство убывания. Чтобы доказать, что последовательность является убывающей, нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} = -2(n+1) + 1 = -2n - 2 + 1 = -2n - 1$.
$a_{n+1} - a_n = (-2n - 1) - (-2n + 1) = -2n - 1 + 2n - 1 = -2$.
Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = -2$ отрицательна, то $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Поскольку последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $a_1$.
$a_1 = -2(1) + 1 = -1$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n \le -1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом $-1$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $a_{n+1} - a_n = -2 < 0$, и ограниченной сверху, так как $a_n \le -1$ для всех $n \ge 1$.

б) Последовательность задана формулой $b_n = (0,2)^n$.
1. Доказательство убывания. Все члены последовательности $b_n$ положительны при $n \ge 1$. Чтобы доказать, что последовательность убывающая, покажем, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} < 1$.
$b_{n+1} = (0,2)^{n+1}$.
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(0,2)^{n+1}}{(0,2)^n} = 0,2$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = 0,2$ меньше 1, то $b_{n+1} < b_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $b_1$.
$b_1 = (0,2)^1 = 0,2$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \le 0,2$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $0,2$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $\frac{b_{n+1}}{b_n} = 0,2 < 1$ (при $b_n > 0$), и ограниченной сверху, так как $b_n \le 0,2$ для всех $n \ge 1$.

в) Последовательность задана формулой $c_n = 3 - (1,1)^n$.
1. Доказательство убывания. Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:
$c_{n+1} = 3 - (1,1)^{n+1}$.
$c_{n+1} - c_n = (3 - (1,1)^{n+1}) - (3 - (1,1)^n) = 3 - (1,1)^{n+1} - 3 + (1,1)^n = (1,1)^n - (1,1)^{n+1} = (1,1)^n(1 - 1,1) = -0,1 \cdot (1,1)^n$.
Поскольку $1,1 > 0$, то $(1,1)^n > 0$ для любого натурального $n$. Следовательно, произведение $-0,1 \cdot (1,1)^n$ всегда отрицательно.
Таким образом, $c_{n+1} - c_n < 0$, что означает $c_{n+1} < c_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $c_1$.
$c_1 = 3 - (1,1)^1 = 3 - 1,1 = 1,9$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \le 1,9$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $1,9$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $c_{n+1} - c_n = -0,1 \cdot (1,1)^n < 0$, и ограниченной сверху, так как $c_n \le 1,9$ для всех $n \ge 1$.

г) Последовательность задана формулой $a_n = 3 - 2n$.
1. Доказательство убывания. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} = 3 - 2(n+1) = 3 - 2n - 2 = 1 - 2n$.
$a_{n+1} - a_n = (1 - 2n) - (3 - 2n) = 1 - 2n - 3 + 2n = -2$.
Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = -2$ отрицательна, то $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Поскольку последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $a_1$.
$a_1 = 3 - 2(1) = 1$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом $1$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $a_{n+1} - a_n = -2 < 0$, и ограниченной сверху, так как $a_n \le 1$ для всех $n \ge 1$.

д) Последовательность задана формулой $b_n = 9 \cdot (\frac{1}{3})^n$.
1. Доказательство убывания. Все члены последовательности $b_n$ положительны. Рассмотрим отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$b_{n+1} = 9 \cdot (\frac{1}{3})^{n+1}$.
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{9 \cdot (\frac{1}{3})^{n+1}}{9 \cdot (\frac{1}{3})^n} = \frac{(\frac{1}{3})^{n+1}}{(\frac{1}{3})^n} = \frac{1}{3}$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{3}$ меньше 1, то $b_{n+1} < b_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $b_1$.
$b_1 = 9 \cdot (\frac{1}{3})^1 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \le 3$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $3$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{3} < 1$ (при $b_n > 0$), и ограниченной сверху, так как $b_n \le 3$ для всех $n \ge 1$.

е) Последовательность задана формулой $c_n = -16 \cdot 2^n$.
1. Доказательство убывания. Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:
$c_{n+1} = -16 \cdot 2^{n+1}$.
$c_{n+1} - c_n = (-16 \cdot 2^{n+1}) - (-16 \cdot 2^n) = -16 \cdot 2 \cdot 2^n + 16 \cdot 2^n = 16 \cdot 2^n (-2 + 1) = -16 \cdot 2^n$.
Поскольку $2^n > 0$ для любого натурального $n$, то $c_{n+1} - c_n = -16 \cdot 2^n$ всегда отрицательно.
Следовательно, $c_{n+1} < c_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $c_1$.
$c_1 = -16 \cdot 2^1 = -32$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \le -32$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $-32$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $c_{n+1} - c_n = -16 \cdot 2^n < 0$, и ограниченной сверху, так как $c_n \le -32$ для всех $n \ge 1$.