Страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

427. Какую последовательность называют:

а) невозрастающей;

б) неубывающей;

в) монотонной;

г) ограниченной сверху;

д) ограниченной снизу;

е) ограниченной;

ж) возрастающей;

з) убывающей?

Приведите примеры.

а) невозрастающей;

Последовательность $(a_n)$ называют невозрастающей, если каждый её член, начиная со второго, не больше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \le a_n$.

Пример: последовательность $5, 4, 4, 3, 2, 2, 2, 1, \dots$. В этой последовательности есть равные члены, но она в целом не возрастает. Другой пример — последовательность, заданная формулой $a_n = -n$: $-1, -2, -3, \dots$

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член не больше предыдущего ($a_{n+1} \le a_n$).

б) неубывающей;

Последовательность $(a_n)$ называют неубывающей, если каждый её член, начиная со второго, не меньше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \ge a_n$.

Пример: последовательность $1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, \dots$. В ней есть равные члены, но в целом она не убывает. Другой пример — последовательность, заданная формулой $a_n = n-1$: $0, 1, 2, 3, \dots$

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член не меньше предыдущего ($a_{n+1} \ge a_n$).

в) монотонной;

Последовательность называют монотонной, если она является невозрастающей или неубывающей.

Пример: любая возрастающая, убывающая, невозрастающая или неубывающая последовательность является монотонной. Например, последовательность $a_n = 2n$ ($2, 4, 6, \dots$) является монотонной, так как она неубывающая. Последовательность $b_n = 1/n$ ($1, 1/2, 1/3, \dots$) также монотонна, так как она невозрастающая. А вот последовательность $c_n = (-1)^n$ ($-1, 1, -1, 1, \dots$) не является монотонной.

Ответ: последовательность, которая является либо невозрастающей, либо неубывающей.

г) ограниченной сверху;

Последовательность $(a_n)$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n \le M$. Это число $M$ называют верхней границей последовательности.

Пример: последовательность $a_n = 1 - n$. Её члены: $0, -1, -2, -3, \dots$. Все члены этой последовательности не превосходят 0, то есть $a_n \le 0$ для любого $n$. Значит, эта последовательность ограничена сверху (например, числом 0 или любым числом больше 0).

Ответ: последовательность, все члены которой не превосходят некоторого числа $M$ ($a_n \le M$).

д) ограниченной снизу;

Последовательность $(a_n)$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n \ge m$. Это число $m$ называют нижней границей последовательности.

Пример: последовательность $a_n = n^2$. Её члены: $1, 4, 9, 16, \dots$. Все члены этой последовательности больше или равны 1, то есть $a_n \ge 1$ для любого $n$. Значит, эта последовательность ограничена снизу (например, числом 1 или любым числом меньше 1).

Ответ: последовательность, все члены которой не меньше некоторого числа $m$ ($a_n \ge m$).

е) ограниченной;

Последовательность $(a_n)$ называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. То есть существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех членов последовательности выполняется двойное неравенство $m \le a_n \le M$.

Пример: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$. Её члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$. Все члены этой последовательности находятся в промежутке $(0, 1]$, то есть $0 < a_n \le 1$. Значит, последовательность ограничена (снизу числом 0, сверху числом 1).

Ответ: последовательность, которая ограничена и сверху, и снизу ($m \le a_n \le M$).

ж) возрастающей;

Последовательность $(a_n)$ называют возрастающей (или строго возрастающей), если каждый её член, начиная со второго, строго больше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$.

Пример: последовательность натуральных чисел $a_n = n$. Её члены: $1, 2, 3, 4, \dots$. Каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Последовательность $1, 1, 2, 3, \dots$ не является строго возрастающей, но является неубывающей.

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член строго больше предыдущего ($a_{n+1} > a_n$).

з) убывающей?

Последовательность $(a_n)$ называют убывающей (или строго убывающей), если каждый её член, начиная со второго, строго меньше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} < a_n$.

Пример: последовательность $a_n = \frac{1}{2^n}$. Её члены: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$. Каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего. Последовательность $1, 1/2, 1/2, 1/3, \dots$ не является строго убывающей, но является невозрастающей.

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член строго меньше предыдущего ($a_{n+1} < a_n$).

Доказываем (428–429).

428. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = 7n - 11;$

б) $b_n = 6^n;$

в) $c_n = -3 + (1,2)^n;$

г) $a_n = 2 + 3n;$

д) $b_n = 3 \cdot 2^n;$

е) $c_n = -3 \cdot (0,2)^n$.

Докажите, что последовательность является возрастающей и ограниченной снизу.

а) Для последовательности $a_n = 7n - 11$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $a_{n+1} - a_n$:$a_{n+1} - a_n = (7(n+1) - 11) - (7n - 11) = 7n + 7 - 11 - 7n + 11 = 7$.Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = 7$ является положительным числом, то $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$, и последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1$.$a_1 = 7(1) - 11 = -4$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n \ge a_1$, то есть $a_n \ge -4$.
Ответ: Последовательность $a_n = 7n - 11$ является возрастающей, так как $a_{n+1} - a_n = 7 > 0$, и ограниченной снизу, так как $a_n \ge -4$.

б) Для последовательности $b_n = 6^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Все члены последовательности $b_n = 6^n$ при $n \ge 1$ положительны. Для доказательства возрастания рассмотрим отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:$b_{n+1} / b_n = 6^{n+1} / 6^n = 6$.Так как отношение $b_{n+1} / b_n = 6 > 1$, то $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$, и последовательность является возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $b_1$.$b_1 = 6^1 = 6$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \ge 6$.
Ответ: Последовательность $b_n = 6^n$ является возрастающей, так как $b_{n+1} / b_n = 6 > 1$, и ограниченной снизу, так как $b_n \ge 6$.

в) Для последовательности $c_n = -3 + (1.2)^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $c_{n+1} - c_n$:$c_{n+1} - c_n = (-3 + (1.2)^{n+1}) - (-3 + (1.2)^n) = (1.2)^{n+1} - (1.2)^n = (1.2)^n(1.2 - 1) = 0.2 \cdot (1.2)^n$.Поскольку $n$ - натуральное число, $(1.2)^n > 0$, следовательно, и произведение $0.2 \cdot (1.2)^n > 0$. Значит, $c_{n+1} > c_n$, и последовательность возрастает.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $c_1$.$c_1 = -3 + (1.2)^1 = -3 + 1.2 = -1.8$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \ge -1.8$.
Ответ: Последовательность $c_n = -3 + (1.2)^n$ является возрастающей, так как $c_{n+1} - c_n > 0$, и ограниченной снизу, так как $c_n \ge -1.8$.

г) Для последовательности $a_n = 2 + 3n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $a_{n+1} - a_n$:$a_{n+1} - a_n = (2 + 3(n+1)) - (2 + 3n) = 2 + 3n + 3 - 2 - 3n = 3$.Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = 3$ положительна, то $a_{n+1} > a_n$ для любого $n$, и последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1$.$a_1 = 2 + 3(1) = 5$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $a_n \ge 5$.
Ответ: Последовательность $a_n = 2 + 3n$ является возрастающей, так как $a_{n+1} - a_n = 3 > 0$, и ограниченной снизу, так как $a_n \ge 5$.

д) Для последовательности $b_n = 3 \cdot 2^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Все члены последовательности при $n \ge 1$ положительны. Рассмотрим их отношение:$b_{n+1} / b_n = (3 \cdot 2^{n+1}) / (3 \cdot 2^n) = 2^{n+1} / 2^n = 2$.Так как отношение $b_{n+1} / b_n = 2 > 1$, то $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$, и последовательность является возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $b_1$.$b_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \ge 6$.
Ответ: Последовательность $b_n = 3 \cdot 2^n$ является возрастающей, так как $b_{n+1} / b_n = 2 > 1$, и ограниченной снизу, так как $b_n \ge 6$.

е) Для последовательности $c_n = -3 \cdot (0.2)^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $c_{n+1} - c_n$:$c_{n+1} - c_n = (-3 \cdot (0.2)^{n+1}) - (-3 \cdot (0.2)^n) = 3 \cdot ((0.2)^n - (0.2)^{n+1}) = 3 \cdot (0.2)^n(1 - 0.2) = 3 \cdot (0.2)^n \cdot 0.8 = 2.4 \cdot (0.2)^n$.Поскольку $n \ge 1$, то $(0.2)^n > 0$, следовательно, и произведение $2.4 \cdot (0.2)^n > 0$. Значит, $c_{n+1} > c_n$, и последовательность возрастает.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $c_1$.$c_1 = -3 \cdot (0.2)^1 = -0.6$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \ge -0.6$.
Ответ: Последовательность $c_n = -3 \cdot (0.2)^n$ является возрастающей, так как $c_{n+1} - c_n > 0$, и ограниченной снизу, так как $c_n \ge -0.6$.

429. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = -2n + 1$;

б) $b_n = (0,2)^n$;

в) $c_n = 3 - (1,1)^n$;

г) $a_n = 3 - 2n$;

д) $b_n = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$;

е) $c_n = -16 \cdot 2^n$.

Докажите, что последовательность является убывающей и ограниченной сверху.

а) Последовательность задана формулой $a_n = -2n + 1$.
1. Доказательство убывания. Чтобы доказать, что последовательность является убывающей, нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} = -2(n+1) + 1 = -2n - 2 + 1 = -2n - 1$.
$a_{n+1} - a_n = (-2n - 1) - (-2n + 1) = -2n - 1 + 2n - 1 = -2$.
Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = -2$ отрицательна, то $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Поскольку последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $a_1$.
$a_1 = -2(1) + 1 = -1$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n \le -1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом $-1$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $a_{n+1} - a_n = -2 < 0$, и ограниченной сверху, так как $a_n \le -1$ для всех $n \ge 1$.

б) Последовательность задана формулой $b_n = (0,2)^n$.
1. Доказательство убывания. Все члены последовательности $b_n$ положительны при $n \ge 1$. Чтобы доказать, что последовательность убывающая, покажем, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} < 1$.
$b_{n+1} = (0,2)^{n+1}$.
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(0,2)^{n+1}}{(0,2)^n} = 0,2$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = 0,2$ меньше 1, то $b_{n+1} < b_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $b_1$.
$b_1 = (0,2)^1 = 0,2$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \le 0,2$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $0,2$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $\frac{b_{n+1}}{b_n} = 0,2 < 1$ (при $b_n > 0$), и ограниченной сверху, так как $b_n \le 0,2$ для всех $n \ge 1$.

в) Последовательность задана формулой $c_n = 3 - (1,1)^n$.
1. Доказательство убывания. Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:
$c_{n+1} = 3 - (1,1)^{n+1}$.
$c_{n+1} - c_n = (3 - (1,1)^{n+1}) - (3 - (1,1)^n) = 3 - (1,1)^{n+1} - 3 + (1,1)^n = (1,1)^n - (1,1)^{n+1} = (1,1)^n(1 - 1,1) = -0,1 \cdot (1,1)^n$.
Поскольку $1,1 > 0$, то $(1,1)^n > 0$ для любого натурального $n$. Следовательно, произведение $-0,1 \cdot (1,1)^n$ всегда отрицательно.
Таким образом, $c_{n+1} - c_n < 0$, что означает $c_{n+1} < c_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $c_1$.
$c_1 = 3 - (1,1)^1 = 3 - 1,1 = 1,9$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \le 1,9$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $1,9$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $c_{n+1} - c_n = -0,1 \cdot (1,1)^n < 0$, и ограниченной сверху, так как $c_n \le 1,9$ для всех $n \ge 1$.

г) Последовательность задана формулой $a_n = 3 - 2n$.
1. Доказательство убывания. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} = 3 - 2(n+1) = 3 - 2n - 2 = 1 - 2n$.
$a_{n+1} - a_n = (1 - 2n) - (3 - 2n) = 1 - 2n - 3 + 2n = -2$.
Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = -2$ отрицательна, то $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Поскольку последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $a_1$.
$a_1 = 3 - 2(1) = 1$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху, например, числом $1$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $a_{n+1} - a_n = -2 < 0$, и ограниченной сверху, так как $a_n \le 1$ для всех $n \ge 1$.

д) Последовательность задана формулой $b_n = 9 \cdot (\frac{1}{3})^n$.
1. Доказательство убывания. Все члены последовательности $b_n$ положительны. Рассмотрим отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$b_{n+1} = 9 \cdot (\frac{1}{3})^{n+1}$.
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{9 \cdot (\frac{1}{3})^{n+1}}{9 \cdot (\frac{1}{3})^n} = \frac{(\frac{1}{3})^{n+1}}{(\frac{1}{3})^n} = \frac{1}{3}$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{3}$ меньше 1, то $b_{n+1} < b_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $b_1$.
$b_1 = 9 \cdot (\frac{1}{3})^1 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \le 3$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $3$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{3} < 1$ (при $b_n > 0$), и ограниченной сверху, так как $b_n \le 3$ для всех $n \ge 1$.

е) Последовательность задана формулой $c_n = -16 \cdot 2^n$.
1. Доказательство убывания. Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:
$c_{n+1} = -16 \cdot 2^{n+1}$.
$c_{n+1} - c_n = (-16 \cdot 2^{n+1}) - (-16 \cdot 2^n) = -16 \cdot 2 \cdot 2^n + 16 \cdot 2^n = 16 \cdot 2^n (-2 + 1) = -16 \cdot 2^n$.
Поскольку $2^n > 0$ для любого натурального $n$, то $c_{n+1} - c_n = -16 \cdot 2^n$ всегда отрицательно.
Следовательно, $c_{n+1} < c_n$, и последовательность является строго убывающей.
2. Доказательство ограниченности сверху. Так как последовательность убывает, ее наибольшим элементом является первый член $c_1$.
$c_1 = -16 \cdot 2^1 = -32$.
Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \le -32$. Последовательность ограничена сверху, например, числом $-32$.
Ответ: Последовательность является убывающей, так как $c_{n+1} - c_n = -16 \cdot 2^n < 0$, и ограниченной сверху, так как $c_n \le -32$ для всех $n \ge 1$.

430. Последовательность задана формулой n-го члена:

a) $a_n = (-2)^n;$

б) $b_n = 2 \cdot (-1)^n;$

в) $c_n = n \cdot (-1)^n;$

г) $u_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n;$

д) $x_n = 2 + (-1)^n;$

е) $y_n = (-1)^n.$

Покажите, что она не является монотонной. Какие из приведённых последовательностей являются ограниченными?

Для решения задачи необходимо для каждой последовательности проверить два свойства: монотонность и ограниченность.

• Последовательность является монотонной, если она является возрастающей (каждый следующий член больше предыдущего), убывающей (каждый следующий член меньше предыдущего), неубывающей (каждый следующий член не меньше предыдущего) или невозрастающей (каждый следующий член не больше предыдущего). Чтобы доказать, что последовательность не является монотонной, достаточно найти три последовательных члена $x_n, x_{n+1}, x_{n+2}$, для которых нарушается порядок, например, $x_n < x_{n+1}$ и $x_{n+1} > x_{n+2}$.
• Последовательность является ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что все члены последовательности по модулю не превосходят $M$, то есть $|x_n| \le M$ для всех $n$. Это равносильно тому, что последовательность ограничена и сверху, и снизу.

а) Для последовательности $a_n = (-2)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов последовательности: $a_1 = (-2)^1 = -2$, $a_2 = (-2)^2 = 4$, $a_3 = (-2)^3 = -8$.
Так как $a_1 < a_2$ (поскольку $-2 < 4$) и $a_2 > a_3$ (поскольку $4 > -8$), то последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. Следовательно, она не монотонна.
Ограниченность: Рассмотрим модуль члена последовательности: $|a_n| = |(-2)^n| = 2^n$. При увеличении $n$ значение $2^n$ неограниченно возрастает ($2^n \to \infty$ при $n \to \infty$). Это означает, что последовательность не ограничена ни сверху (члены с четными номерами $a_{2k} = 4^k$ стремятся к $+\infty$), ни снизу (члены с нечетными номерами $a_{2k-1} = -2 \cdot 4^{k-1}$ стремятся к $-\infty$).
Ответ: последовательность не является монотонной и не является ограниченной.

б) Для последовательности $b_n = 2 \cdot (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $b_1 = 2 \cdot (-1)^1 = -2$, $b_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2$, $b_3 = 2 \cdot (-1)^3 = -2$.
Так как $b_1 < b_2$ ($-2 < 2$) и $b_2 > b_3$ ($2 > -2$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Члены последовательности могут принимать только два значения: $-2$ (для нечетных $n$) и $2$ (для четных $n$). Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $-2 \le b_n \le 2$. Таким образом, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

в) Для последовательности $c_n = n \cdot (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $c_1 = 1 \cdot (-1)^1 = -1$, $c_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2$, $c_3 = 3 \cdot (-1)^3 = -3$.
Так как $c_1 < c_2$ ($-1 < 2$) и $c_2 > c_3$ ($2 > -3$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Модуль члена последовательности $|c_n| = |n \cdot (-1)^n| = n$. При $n \to \infty$, значение $n$ неограниченно возрастает. Следовательно, последовательность не является ограниченной.
Ответ: последовательность не является монотонной и не является ограниченной.

г) Для последовательности $u_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $u_1 = -\frac{1}{2}$, $u_2 = \frac{1}{4}$, $u_3 = -\frac{1}{8}$.
Так как $u_1 < u_2$ ($-\frac{1}{2} < \frac{1}{4}$) и $u_2 > u_3$ ($\frac{1}{4} > -\frac{1}{8}$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Модуль члена последовательности $|u_n| = \left|\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Максимальное значение модуля достигается при $n=1$: $|u_1| = \frac{1}{2}$. Для всех $n \ge 1$ выполняется $|u_n| \le \frac{1}{2}$. Это означает, что $-\frac{1}{2} \le u_n \le \frac{1}{2}$, то есть последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

д) Для последовательности $x_n = 2 + (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $x_1 = 2 + (-1) = 1$, $x_2 = 2 + 1 = 3$, $x_3 = 2 + (-1) = 1$.
Так как $x_1 < x_2$ ($1 < 3$) и $x_2 > x_3$ ($3 > 1$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Члены последовательности могут принимать только два значения: $1$ (для нечетных $n$) и $3$ (для четных $n$). Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $1 \le x_n \le 3$. Таким образом, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

е) Для последовательности $y_n = (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $y_1 = -1$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$.
Так как $y_1 < y_2$ ($-1 < 1$) и $y_2 > y_3$ ($1 > -1$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Члены последовательности могут принимать только два значения: $-1$ и $1$. Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $-1 \le y_n \le 1$. Таким образом, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

Итоговый вывод:
Все представленные последовательности не являются монотонными из-за наличия множителя вида $(-r)^n$ (где $r>0$), который вызывает знакочередование или колебание значений.
Ограниченными являются последовательности, члены которых по модулю не возрастают неограниченно. В данном случае это последовательности: б), г), д), е).

431. Придумайте свой пример последовательности:

а) монотонной;

б) немонотонной;

в) ограниченной снизу;

г) ограниченной.

а) монотонной: Примером монотонной последовательности может служить последовательность натуральных чисел, заданная формулой общего члена $a_n = n$, где $n$ – натуральное число ($n \ge 1$).
Ее первые члены: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Эта последовательность является монотонной, так как каждый следующий ее член строго больше предыдущего: для любого $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} = n+1 > n = a_n$. Следовательно, это строго возрастающая последовательность.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = n$.

б) немонотонной: Примером немонотонной последовательности является знакочередующаяся последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$.
Ее первые члены: -1, 1, -1, 1, -1, ...
Эта последовательность не является монотонной, так как она не является ни возрастающей, ни убывающей. Например, $a_2 > a_1$ (так как $1 > -1$), но $a_3 < a_2$ (так как $-1 < 1$).
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$.

в) ограниченной снизу: Примером последовательности, ограниченной снизу, но не ограниченной сверху, является последовательность квадратов натуральных чисел: $a_n = n^2$.
Ее первые члены: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Эта последовательность ограничена снизу, поскольку для любого натурального $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n = n^2 \ge 1$. Число 1 (или любое число меньше 1, например 0) является ее нижней границей. При этом последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = n^2$.

г) ограниченной: Примером ограниченной последовательности (то есть ограниченной и снизу, и сверху) является последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$.
Ее первые члены: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ...
Эта последовательность ограничена. С одной стороны, все ее члены положительны, то есть $a_n > 0$, значит, она ограничена снизу числом 0. С другой стороны, наибольшим членом является первый, $a_1 = 1$, а все остальные члены меньше 1. Таким образом, для всех $n$ выполняется двойное неравенство $0 < a_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$.

432. Верно ли, что всякая возрастающая последовательность ограничена снизу, а всякая убывающая последовательность ограничена сверху?

Данное утверждение состоит из двух частей. Проверим истинность каждой из них.

Всякая возрастающая последовательность ограничена снизу

Пусть дана произвольная возрастающая последовательность $(a_n)$. Согласно определению возрастающей последовательности, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \ge a_n$.

Это значит, что каждый следующий член последовательности не меньше предыдущего. Следовательно, мы можем записать цепочку неравенств: $a_n \ge a_{n-1} \ge a_{n-2} \ge \dots \ge a_2 \ge a_1$.

Из этой цепочки видно, что любой член последовательности $(a_n)$ с номером $n$ будет больше или равен первому члену $a_1$. То есть, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n \ge a_1$.

По определению, последовательность ограничена снизу, если существует такое число $M$, что для всех ее членов выполняется неравенство $a_n \ge M$. В нашем случае таким числом является $a_1$. Следовательно, любая возрастающая последовательность ограничена снизу своим первым членом. Первая часть утверждения верна.

Всякая убывающая последовательность ограничена сверху

Теперь пусть дана произвольная убывающая последовательность $(b_n)$. Согласно определению убывающей последовательности, для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $b_{n+1} \le b_n$.

Это значит, что каждый следующий член последовательности не больше предыдущего. Следовательно, мы можем записать цепочку неравенств: $b_n \le b_{n-1} \le b_{n-2} \le \dots \le b_2 \le b_1$.

Из этой цепочки видно, что любой член последовательности $(b_n)$ с номером $n$ будет меньше или равен первому члену $b_1$. То есть, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $b_n \le b_1$.

По определению, последовательность ограничена сверху, если существует такое число $K$, что для всех ее членов выполняется неравенство $b_n \le K$. В нашем случае таким числом является $b_1$. Следовательно, любая убывающая последовательность ограничена сверху своим первым членом. Вторая часть утверждения также верна.

Поскольку обе части утверждения верны, то и все утверждение в целом является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.

433. Доказываем. Докажите, что последовательность десятичных приближений числа $\pi$ с недостатком 3; 3,1; 3,14; 3,141; ... является ограниченной.

Доказываем.

Рассмотрим последовательность $(a_n)$, члены которой являются десятичными приближениями числа $\pi$ с недостатком: $a_1=3$, $a_2=3,1$, $a_3=3,14$, $a_4=3,141$ и так далее.

Последовательность называется ограниченной, если существуют числа $m$ и $M$ (нижняя и верхняя границы), такие, что для любого члена последовательности $a_n$ выполняется неравенство $m \le a_n \le M$.

С одной стороны, каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем добавления очередной цифры после запятой, что соответствует добавлению неотрицательного числа. То есть, $a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots$. Это означает, что последовательность является неубывающей. Следовательно, все ее члены не меньше первого члена: $a_n \ge a_1 = 3$. Таким образом, последовательность ограничена снизу числом 3.

С другой стороны, по определению десятичного приближения с недостатком, каждый член последовательности $a_n$ не превышает само число $\pi$. То есть, для любого $n$ справедливо неравенство $a_n \le \pi$. Поскольку число $\pi$ меньше 4 (так как $\pi \approx 3,14159...$), мы можем утверждать, что $a_n < 4$ для любого $n$. Таким образом, последовательность ограничена сверху числом 4.

Итак, для всех членов последовательности $(a_n)$ выполняется двойное неравенство $3 \le a_n < 4$. Поскольку мы нашли числа $m=3$ и $M=4$, которые ограничивают все члены последовательности снизу и сверху, данная последовательность является ограниченной.

Ответ: Последовательность десятичных приближений числа $\pi$ с недостатком является ограниченной, так как все ее члены $a_n$ удовлетворяют неравенству $3 \le a_n < 4$.