Страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

439. а) Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

б) Что называют разностью арифметической прогрессии?

в) Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

г) Какими свойствами обладает арифметическая прогрессия?

а) Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии. Иными словами, последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — некоторое постоянное число.

Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна.

б) Разностью арифметической прогрессии (обозначается буквой $d$) называют то постоянное число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Разность можно найти, вычтя из любого члена прогрессии (начиная со второго) предшествующий ему член: $d = a_{n+1} - a_n$. Если разность $d > 0$, то прогрессия является возрастающей. Если $d < 0$, — убывающей. Если $d = 0$, то все члены прогрессии равны между собой, и она является постоянной последовательностью (стационарной).

Ответ: Разность арифметической прогрессии — это постоянное число $d$, которое равно разности между любым последующим и предыдущим членом прогрессии ($d = a_{n+1} - a_n$).

в) Формула $n$-го члена арифметической прогрессии позволяет найти любой член последовательности, зная её первый член $a_1$ и разность $d$. Формула имеет следующий вид:$a_n = a_1 + (n-1)d$
Здесь $a_n$ — искомый $n$-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

Ответ: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

г) Арифметическая прогрессия обладает несколькими ключевыми свойствами:
1. Характеристическое свойство. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего). Математически это выражается формулой: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ для всех $n \ge 2$. Это свойство является отличительной чертой арифметической прогрессии.
2. Свойство равноудаленных членов. В конечной арифметической прогрессии сумма двух членов, равноудаленных от её концов, постоянна и равна сумме первого и последнего членов. То есть, $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ для любого $k$ в пределах от $1$ до $n$.
3. Сумма первых $n$ членов. Сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n$ может быть вычислена по формулам: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или, подставив формулу $n$-го члена, $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Ответ: Основные свойства: каждый член (кроме первого) равен среднему арифметическому своих соседей ($a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$); сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна ($a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$).

440. Дана последовательность ${$a_n$}: 2, 7, 12, 22, 27, ....

a) Определите разность между каждым последующим членом и предыдущим.

б) Является ли последовательность ${$a_n$}$ арифметической прогрессией?

а) Чтобы определить разность между каждым последующим и предыдущим членом, нужно последовательно вычесть из каждого члена (начиная со второго) предшествующий ему член.

Даны члены последовательности: $a_1 = 2, a_2 = 7, a_3 = 12, a_4 = 22, a_5 = 27$.

Найдем разности:

• Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5$.
• Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 12 - 7 = 5$.
• Разность между четвертым и третьим членами: $a_4 - a_3 = 22 - 12 = 10$.
• Разность между пятым и четвертым членами: $a_5 - a_4 = 27 - 22 = 5$.

Ответ: Разности между соседними членами последовательности равны 5, 5, 10, 5.

б) Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$. Иначе говоря, для всех номеров $n$ разность $a_{n+1} - a_n$ должна быть постоянной.

В пункте а) мы вычислили разности между соседними членами данной последовательности. Они получились равными 5, 5, 10 и 5.

Так как эти значения не равны между собой (например, $10 \neq 5$), разность между членами не является постоянной. Следовательно, данная последовательность не удовлетворяет определению арифметической прогрессии.

Ответ: Нет, последовательность {$a_n$} не является арифметической прогрессией.

441. Арифметическая прогрессия ${a_n}$ задана формулой общего члена $a_n = a_1 + (n - 1)d$, где $a_1 = 3$, $d = 2$. Найдите пять первых членов прогрессии.

Для нахождения первых пяти членов арифметической прогрессии {$a_n$} воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = 3$ и разность прогрессии $d = 2$. Мы будем последовательно вычислять члены прогрессии, подставляя значения $n$ от 1 до 5.

Первый член ($n=1$):
Первый член прогрессии уже задан в условии.
$a_1 = 3$

Второй член ($n=2$):
Подставляем $n=2$ в формулу:
$a_2 = a_1 + (2-1)d = 3 + 1 \cdot 2 = 3 + 2 = 5$

Третий член ($n=3$):
Подставляем $n=3$ в формулу:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$

Четвертый член ($n=4$):
Подставляем $n=4$ в формулу:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = 3 + 3 \cdot 2 = 3 + 6 = 9$

Пятый член ($n=5$):
Подставляем $n=5$ в формулу:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 3 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11$

Таким образом, первые пять членов данной арифметической прогрессии равны 3, 5, 7, 9 и 11.

Ответ: 3, 5, 7, 9, 11.

442. Дана арифметическая прогрессия ${a_n}$: 1, 7, 13, ....

а) Найдите разность арифметической прогрессии.

б) Найдите $a_7$; $a_8$; $a_9$; $a_{10}$.

Дана арифметическая прогрессия {$a_n$}, где известны первые три члена: $a_1 = 1$, $a_2 = 7$, $a_3 = 13$.

а) Найдите разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии (обозначается $d$) — это постоянное число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Чтобы найти разность, нужно из любого члена прогрессии вычесть предшествующий ему член.

Вычислим разность, используя первые два члена: $a_1 = 1$ и $a_2 = 7$.
$d = a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6$.

Для проверки можно взять вторую и третью пары членов: $a_2 = 7$ и $a_3 = 13$.
$d = a_3 - a_2 = 13 - 7 = 6$.
Разность постоянна, следовательно, $d = 6$.
Ответ: 6.

б) Найдите $a_7; a_8; a_9; a_{10}$.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_1$ — первый член, $d$ — разность, а $n$ — номер искомого члена.

В нашем случае известно, что $a_1 = 1$ и $d = 6$. Подставим эти значения в формулу для вычисления $a_7$, $a_8$, $a_9$ и $a_{10}$.

Для $n=7$:
$a_7 = a_1 + (7-1)d = 1 + 6 \cdot 6 = 1 + 36 = 37$.

Для $n=8$:
$a_8 = a_1 + (8-1)d = 1 + 7 \cdot 6 = 1 + 42 = 43$.
(Также можно найти $a_8$ как $a_7 + d = 37 + 6 = 43$).

Для $n=9$:
$a_9 = a_1 + (9-1)d = 1 + 8 \cdot 6 = 1 + 48 = 49$.
(Также можно найти $a_9$ как $a_8 + d = 43 + 6 = 49$).

Для $n=10$:
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 1 + 9 \cdot 6 = 1 + 54 = 55$.
(Также можно найти $a_{10}$ как $a_9 + d = 49 + 6 = 55$).
Ответ: $a_7=37; a_8=43; a_9=49; a_{10}=55$.