Страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

459. Запишите формулу для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии по её:

а) первому и $n$-му членам;

$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$

б) первому члену и разности прогрессии.

$S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)d)n}{2}$

460. Вычислите сумму:

а) $1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100;$

б) $30 + 31 + 32 + \dots + 38 + 39 + 40;$

в) $11 + 12 + 13 + \dots + 87 + 88 + 89.$

Для решения данных задач мы будем использовать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$,

где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — последний член прогрессии, а $n$ — количество членов.

Во всех трех случаях мы имеем дело с последовательностью целых чисел, следующих друг за другом, поэтому разность прогрессии равна 1. Количество членов $n$ в такой последовательности можно вычислить по формуле: $n = a_n - a_1 + 1$.

а) 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

Это сумма первых 100 натуральных чисел, которая является арифметической прогрессией.

• Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
• Последний член прогрессии $a_n = 100$.
• Количество членов $n = 100$.

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$.

Этот метод также известен как метод Гаусса, который заключается в попарном сложении чисел с начала и с конца ряда: $1+100=101$, $2+99=101$, и так далее. Всего таких пар будет $100 / 2 = 50$. Сумма равна $101 \cdot 50 = 5050$.

Ответ: 5050.

б) 30 + 31 + 32 + ... + 38 + 39 + 40

Данная сумма также является арифметической прогрессией.

• Первый член прогрессии $a_1 = 30$.
• Последний член прогрессии $a_n = 40$.
• Вычислим количество членов $n = a_n - a_1 + 1 = 40 - 30 + 1 = 11$.

Теперь найдем сумму по формуле:

$S_{11} = \frac{(30 + 40) \cdot 11}{2} = \frac{70 \cdot 11}{2} = 35 \cdot 11 = 385$.

Ответ: 385.

в) 11 + 12 + 13 + ... + 87 + 88 + 89

Это еще один пример суммы членов арифметической прогрессии.

• Первый член прогрессии $a_1 = 11$.
• Последний член прогрессии $a_n = 89$.
• Вычислим количество членов $n = a_n - a_1 + 1 = 89 - 11 + 1 = 79$.

Подставляем значения в формулу суммы:

$S_{79} = \frac{(11 + 89) \cdot 79}{2} = \frac{100 \cdot 79}{2} = 50 \cdot 79 = 3950$.

Ответ: 3950.

Дана арифметическая прогрессия ${a_n}$. Вычислите (461–463):

461. а) $S_{20}$, если $a_1 = 1$, $a_{20} = 20$;

б) $S_{30}$, если $a_1 = -10$, $a_{30} = 20$;

в) $S_{13}$, если $a_1 = 17$, $a_{13} = 13$;

г) $S_{17}$, если $a_1 = 11$, $a_{17} = 19$.

а) Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, зная первый и $n$-й члены, используется формула $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В данном случае необходимо найти $S_{20}$, где $n=20$, $a_1=1$ и $a_{20}=20$.
Подставим значения в формулу:
$S_{20} = \frac{1 + 20}{2} \cdot 20 = \frac{21}{2} \cdot 20 = 21 \cdot 10 = 210$.
Ответ: 210

б) Необходимо найти $S_{30}$, если $a_1 = -10$ и $a_{30} = 20$.
Здесь $n=30$. Используем ту же формулу суммы арифметической прогрессии:
$S_{30} = \frac{-10 + 20}{2} \cdot 30 = \frac{10}{2} \cdot 30 = 5 \cdot 30 = 150$.
Ответ: 150

в) Необходимо найти $S_{13}$, если $a_1 = 17$ и $a_{13} = 13$.
В этом случае $n=13$. Подставляем данные в формулу:
$S_{13} = \frac{17 + 13}{2} \cdot 13 = \frac{30}{2} \cdot 13 = 15 \cdot 13 = 195$.
Ответ: 195

г) Необходимо найти $S_{17}$, если $a_1 = 11$ и $a_{17} = 19$.
Здесь $n=17$. Выполняем подстановку в формулу:
$S_{17} = \frac{11 + 19}{2} \cdot 17 = \frac{30}{2} \cdot 17 = 15 \cdot 17 = 255$.
Ответ: 255