Страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

462. а) $S_{20}$, если $a_1 = 1$, $d = 1$;

б) $S_{40}$, если $a_1 = 2$, $d = 2$;

в) $S_{11}$, если $a_1 = -2$, $d = 4$;

г) $S_{15}$, если $a_1 = -3$, $d = 3$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$,

где $a_1$ — это первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

а) Найти $S_{20}$, если $a_1 = 1, d = 1$.

В этом случае $n = 20$, $a_1 = 1$, $d = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (20 - 1)}{2} \cdot 20 = \frac{2 + 19}{2} \cdot 20 = \frac{21}{2} \cdot 20 = 21 \cdot 10 = 210$.

Ответ: 210.

б) Найти $S_{40}$, если $a_1 = 2, d = 2$.

Здесь $n = 40$, $a_1 = 2$, $d = 2$. Подставим значения в формулу:

$S_{40} = \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot (40 - 1)}{2} \cdot 40 = \frac{4 + 2 \cdot 39}{2} \cdot 40 = \frac{4 + 78}{2} \cdot 40 = \frac{82}{2} \cdot 40 = 41 \cdot 40 = 1640$.

Ответ: 1640.

в) Найти $S_{11}$, если $a_1 = -2, d = 4$.

Здесь $n = 11$, $a_1 = -2$, $d = 4$. Подставим значения в формулу:

$S_{11} = \frac{2 \cdot (-2) + 4 \cdot (11 - 1)}{2} \cdot 11 = \frac{-4 + 4 \cdot 10}{2} \cdot 11 = \frac{-4 + 40}{2} \cdot 11 = \frac{36}{2} \cdot 11 = 18 \cdot 11 = 198$.

Ответ: 198.

г) Найти $S_{15}$, если $a_1 = -3, d = 3$.

Здесь $n = 15$, $a_1 = -3$, $d = 3$. Подставим значения в формулу:

$S_{15} = \frac{2 \cdot (-3) + 3 \cdot (15 - 1)}{2} \cdot 15 = \frac{-6 + 3 \cdot 14}{2} \cdot 15 = \frac{-6 + 42}{2} \cdot 15 = \frac{36}{2} \cdot 15 = 18 \cdot 15 = 270$.

Ответ: 270.

463. а) $S_{10}$, если $a_2 = 1$, $d = -2$;

б) $S_5$, если $a_8 = 4$, $d = -1$;

в) $S_{17}$, если $a_9 = 2$;

г) $S_{19}$, если $a_{10} = 4$.

а)

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

В данной задаче нам нужно найти $S_{10}$. Нам даны $a_2 = 1$ и $d = -2$. Сначала необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Формула для n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=2$ имеем: $a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$.
Подставим известные значения: $1 = a_1 + (-2)$.
Отсюда находим $a_1$: $a_1 = 1 + 2 = 3$.

Теперь, когда известны $a_1=3$ и $d=-2$, мы можем найти $S_{10}$.
$S_{10} = \frac{2a_1 + (10-1)d}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 3 + 9 \cdot (-2)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{6 - 18}{2} \cdot 10 = \frac{-12}{2} \cdot 10 = -6 \cdot 10 = -60$.

Ответ: $S_{10} = -60$.

б)

Нужно найти $S_5$, если известны $a_8 = 4$ и $d = -1$.
Сначала найдём первый член прогрессии $a_1$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=8$ имеем: $a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$.
Подставим известные значения: $4 = a_1 + 7 \cdot (-1)$.
$4 = a_1 - 7$.
Отсюда находим $a_1$: $a_1 = 4 + 7 = 11$.

Теперь найдём $S_5$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 11 + 4 \cdot (-1)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{22 - 4}{2} \cdot 5 = \frac{18}{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: $S_5 = 45$.

в)

Нужно найти $S_{17}$, если известен $a_9 = 2$. Разность прогрессии $d$ не задана.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Для $n=17$ имеем: $S_{17} = \frac{2a_1 + (17-1)d}{2} \cdot 17 = \frac{2a_1 + 16d}{2} \cdot 17$.
Вынесем 2 за скобки в числителе: $S_{17} = \frac{2(a_1 + 8d)}{2} \cdot 17 = (a_1 + 8d) \cdot 17$.

Выражение $a_1 + 8d$ по формуле n-го члена является девятым членом прогрессии: $a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$.
Так как по условию $a_9 = 2$, мы можем подставить это значение в формулу для суммы.
$S_{17} = a_9 \cdot 17 = 2 \cdot 17 = 34$.

Этот результат также следует из свойства арифметической прогрессии: если число членов нечётно ($n = 2k-1$), то сумма равна произведению числа членов на средний член ($S_n = n \cdot a_k$). В нашем случае $n=17$, средний член - $a_9$.

Ответ: $S_{17} = 34$.

г)

Нужно найти $S_{19}$, если известен $a_{10} = 4$.

Эта задача аналогична предыдущей. Будем использовать тот же подход.
Формула для суммы $S_{19}$:
$S_{19} = \frac{2a_1 + (19-1)d}{2} \cdot 19 = \frac{2a_1 + 18d}{2} \cdot 19$.
$S_{19} = \frac{2(a_1 + 9d)}{2} \cdot 19 = (a_1 + 9d) \cdot 19$.

Выражение $a_1 + 9d$ является десятым членом прогрессии: $a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$.
По условию $a_{10} = 4$.
Подставляем это значение: $S_{19} = a_{10} \cdot 19 = 4 \cdot 19 = 76$.

Ответ: $S_{19} = 76$.

464. а) Определите сумму первых 40 чётных натуральных чисел.

б) Определите сумму всех трёхзначных натуральных чисел.

в) Определите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, кратных 3.

а)
Последовательность первых 40 чётных натуральных чисел (2, 4, 6, ...) представляет собой арифметическую прогрессию. Для нахождения её суммы воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Определим параметры для данной задачи:
- Первый член прогрессии: $a_1 = 2$.
- Количество членов: $n = 40$.
- Последний, 40-й член прогрессии, это 40-е чётное число: $a_{40} = 2 \cdot 40 = 80$.
Теперь подставим значения в формулу и вычислим сумму:
$S_{40} = \frac{2 + 80}{2} \cdot 40 = \frac{82}{2} \cdot 40 = 41 \cdot 40 = 1640$.
Ответ: 1640

б)
Все трёхзначные натуральные числа (от 100 до 999) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=1$. Для нахождения их суммы используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Определим параметры этой прогрессии:
- Первый член: $a_1 = 100$.
- Последний член: $a_n = 999$.
- Количество членов $n$ найдем по формуле $n = (\text{последний член} - \text{первый член}) + 1$: $n = 999 - 100 + 1 = 900$.
Вычислим сумму:
$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$.
Ответ: 494550

в)
Натуральные числа от 1 до 100, кратные 3, образуют арифметическую прогрессию (3, 6, 9, ...). Для нахождения их суммы используем формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Определим параметры этой прогрессии:
- Первый член (наименьшее натуральное число от 1 до 100, кратное 3): $a_1 = 3$.
- Последний член (наибольшее натуральное число от 1 до 100, кратное 3): $a_n = 99$.
- Количество членов $n$ можно найти, разделив последний член на разность прогрессии $d=3$: $n = \frac{99}{3} = 33$.
Подставим значения в формулу суммы:
$S_{33} = \frac{3 + 99}{2} \cdot 33 = \frac{102}{2} \cdot 33 = 51 \cdot 33 = 1683$.
Ответ: 1683

465. Определите сумму всех двузначных чисел:

а) делящихся на 3;

б) делящихся на 4;

в) делящихся и на 3, и на 4;

г) не делящихся ни на 3, ни на 4.

а) делящихся на 3;

Двузначные числа, которые делятся на 3, представляют собой арифметическую прогрессию. Найдем первый и последний члены этой прогрессии. Первое двузначное число, делящееся на 3, это 12. Последнее — 99.

Итак, у нас есть арифметическая прогрессия, где:

• первый член $a_1 = 12$;
• последний член $a_n = 99$;
• разность прогрессии $d = 3$.

Сначала найдем количество членов этой прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.

Теперь вычислим сумму этих 30 чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{30} = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

Ответ: 1665.

б) делящихся на 4;

Аналогично, двузначные числа, делящиеся на 4, образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 12$. Последний член $a_n = 96$ (так как $99, 98, 97$ не делятся на 4, а $96 = 4 \cdot 24$). Разность прогрессии $d = 4$.

Найдем количество членов прогрессии:
$n = \frac{96 - 12}{4} + 1 = \frac{84}{4} + 1 = 21 + 1 = 22$.

Вычислим сумму этих 22 чисел:
$S_{22} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 22 = \frac{108}{2} \cdot 22 = 54 \cdot 22 = 1188$.

Ответ: 1188.

в) делящихся и на 3, и на 4;

Числа, которые делятся и на 3, и на 4, делятся на их наименьшее общее кратное (НОК). $НОК(3, 4) = 12$. Значит, нам нужна сумма двузначных чисел, делящихся на 12. Они также образуют арифметическую прогрессию. Первый член $a_1 = 12$. Последний член $a_n = 96$ (так как $12 \cdot 8 = 96$, а $12 \cdot 9 = 108$, что уже не двузначное число). Разность прогрессии $d = 12$.

Найдем количество членов прогрессии:
$n = \frac{96 - 12}{12} + 1 = \frac{84}{12} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Вычислим сумму этих 8 чисел:
$S_8 = \frac{12 + 96}{2} \cdot 8 = \frac{108}{2} \cdot 8 = 54 \cdot 8 = 432$.

Ответ: 432.

г) не делящихся ни на 3, ни на 4.

Чтобы решить эту задачу, мы найдем общую сумму всех двузначных чисел, а затем вычтем из нее сумму чисел, которые делятся на 3 или на 4.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел (от 10 до 99). Это арифметическая прогрессия с $a_1 = 10$, $a_n = 99$ и количеством членов $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
$S_{общ} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму чисел, делящихся на 3 или на 4, используя формулу включений-исключений: сумма чисел, делящихся на 3, плюс сумма чисел, делящихся на 4, минус сумма чисел, делящихся на оба числа (т.е. на 12), чтобы не считать их дважды.
$S_{3 \text{ или } 4} = S_3 + S_4 - S_{12}$
Используя результаты из пунктов а), б) и в):
$S_{3 \text{ или } 4} = 1665 + 1188 - 432 = 2853 - 432 = 2421$.

3. Теперь вычтем эту сумму из общей суммы всех двузначных чисел:
$S_{искомая} = S_{общ} - S_{3 \text{ или } 4} = 4905 - 2421 = 2484$.

Ответ: 2484.

466. Сложили несколько первых членов арифметической прогрессии ${a_n}$ и получили 430. Сколько членов сложили, если ${a_1 = -7, d = 3?}$

Для нахождения количества членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

В данной задаче известны следующие значения:

• Сумма первых $n$ членов $S_n = 430$;
• Первый член прогрессии $a_1 = -7$;
• Разность прогрессии $d = 3$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти неизвестное количество членов $n$:

$430 = \frac{2 \cdot (-7) + 3 \cdot (n-1)}{2} \cdot n$

Для решения этого уравнения сначала умножим обе его части на 2:

$860 = (2 \cdot (-7) + 3(n-1)) \cdot n$

Теперь упростим выражение в скобках:

$860 = (-14 + 3n - 3) \cdot n$

$860 = (3n - 17) \cdot n$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$860 = 3n^2 - 17n$

$3n^2 - 17n - 860 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-860) = 289 + 12 \cdot 860 = 289 + 10320 = 10609$

Найдем корни уравнения, используя формулу $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{10609} = 103$

$n_1 = \frac{-(-17) + 103}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 103}{6} = \frac{120}{6} = 20$

$n_2 = \frac{-(-17) - 103}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 103}{6} = \frac{-86}{6} = -\frac{43}{3}$

Количество членов прогрессии $n$ по определению является натуральным числом. Поэтому корень $n_2 = -\frac{43}{3}$ не является решением задачи, так как он отрицательный и нецелый.

Следовательно, единственный подходящий корень — это $n = 20$.

Ответ: 20

467. Сколько ударов сделают настенные часы за сутки, если они бьют только один раз в час, отбивая число часов?

Для того чтобы найти общее количество ударов, которые сделают настенные часы за сутки, нужно сначала вычислить количество ударов за один 12-часовой цикл, а затем умножить результат на два, так как в сутках 24 часа, что составляет два таких цикла.

1. Найдем количество ударов за 12-часовой цикл.

Часы бьют каждый час, отбивая количество часов от 1 до 12. Таким образом, нам нужно найти сумму чисел от 1 до 12. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

Сумма ударов: $S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12$.

Для нахождения суммы можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — количество членов, $a_1$ — первый член, а $a_n$ — последний.

В нашем случае $n=12$, $a_1=1$, $a_n=12$.

$S_{12} = \frac{12 \cdot (1 + 12)}{2} = \frac{12 \cdot 13}{2} = 6 \cdot 13 = 78$.

Итак, за 12 часов часы сделают 78 ударов.

2. Найдем общее количество ударов за сутки (24 часа).

Сутки состоят из двух 12-часовых циклов (первая половина дня и вторая). В каждом из этих циклов часы отбивают одинаковое количество ударов. Следовательно, чтобы найти общее количество ударов за 24 часа, нужно умножить количество ударов за 12 часов на 2.

$78 \text{ ударов} \times 2 = 156 \text{ ударов}$.

Ответ: 156.

468. В арифметической прогрессии ${a_n}$: ${a_5} = 11$, ${a_8} = 17$. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия $\{a_n\}$, в которой известны пятый и восьмой члены: $a_5 = 11$ и $a_8 = 17$. Необходимо найти сумму первых десяти членов этой прогрессии, $S_{10}$.

1. Нахождение разности арифметической прогрессии (d)

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Мы можем выразить один член прогрессии через другой. Например, $a_8$ можно выразить через $a_5$:

$a_8 = a_5 + (8-5)d$

Подставим известные значения:

$17 = 11 + 3d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$3d = 17 - 11$

$3d = 6$

$d = 2$

Итак, разность прогрессии равна 2.

2. Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)

Теперь, зная разность $d$, мы можем найти первый член $a_1$, используя формулу для $a_5$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$11 = a_1 + 4d$

Подставим найденное значение $d=2$:

$11 = a_1 + 4 \cdot 2$

$11 = a_1 + 8$

$a_1 = 11 - 8$

$a_1 = 3$

Итак, первый член прогрессии равен 3.

3. Нахождение суммы первых десяти членов прогрессии ($S_{10}$)

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Нам нужно найти сумму первых десяти членов, то есть $n=10$. Подставим в формулу значения $a_1=3$ и $d=2$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 3 + 2(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{6 + 2 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{6 + 18}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{24}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 12 \cdot 10 = 120$

Ответ: 120

469. Придумайте задачу на нахождение суммы $n$ членов арифметической прогрессии.

Пример задачи на нахождение суммы $n$ членов арифметической прогрессии:
Велосипедист в первый день проехал 20 км. Каждый следующий день он проезжал на 3 км больше, чем в предыдущий. Какое общее расстояние проедет велосипедист за 10 дней?

Решение задачи:
Расстояние, которое велосипедист проезжает каждый день, образует арифметическую прогрессию. Обозначим эту прогрессию как $(a_n)$.

1. Определим параметры арифметической прогрессии:
Первый член прогрессии $a_1$ — это расстояние, которое велосипедист проехал в первый день. По условию, $a_1 = 20$ км.
Разность прогрессии $d$ — это расстояние, на которое увеличивался ежедневный пробег. По условию, $d = 3$ км.
Количество членов прогрессии $n$ — это общее количество дней. По условию, $n = 10$.

2. Найдем сумму n членов прогрессии:
Нам нужно найти общее расстояние, которое является суммой всех членов этой прогрессии. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Подставим в формулу значения наших параметров: $a_1 = 20$, $d = 3$ и $n = 10$.
$S_{10} = \frac{2 \cdot 20 + 3 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$
Выполним вычисления:
$S_{10} = \frac{40 + 3 \cdot 9}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{40 + 27}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{67}{2} \cdot 10$
$S_{10} = 67 \cdot 5$
$S_{10} = 335$
Таким образом, общее расстояние, которое проедет велосипедист за 10 дней, составит 335 км.
Ответ: 335 км.

470. Доказываем.

Докажите, что для любой арифметической прогрессии $a_n$ справедлива формула

$S_{2n-1} = a_n(2n-1)$

Для доказательства справедливости формулы $S_{2n-1} = a_n(2n-1)$ для любой арифметической прогрессии $\{a_n\}$ воспользуемся одной из стандартных формул для суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии.

Формула суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии, выраженная через первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$, имеет вид: $S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$.

Нам необходимо найти сумму первых $2n-1$ членов, поэтому подставим в эту формулу $k = 2n-1$: $S_{2n-1} = \frac{2a_1 + ((2n-1)-1)d}{2} \cdot (2n-1)$.

Упростим выражение в скобках в числителе: $S_{2n-1} = \frac{2a_1 + (2n-2)d}{2} \cdot (2n-1)$.

Теперь вынесем общий множитель 2 из числителя дроби: $S_{2n-1} = \frac{2(a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot (2n-1)$.

Сократим дробь на 2: $S_{2n-1} = (a_1 + (n-1)d) \cdot (2n-1)$.

Заметим, что выражение в скобках, $a_1 + (n-1)d$, по определению является формулой для $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n$. То есть, $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Сделаем замену выражения в скобках на $a_n$: $S_{2n-1} = a_n \cdot (2n-1)$.

Таким образом, мы доказали, что для любой арифметической прогрессии справедлива формула $S_{2n-1} = a_n(2n-1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

471. Для арифметической прогрессии ${a_n}$ вычислите $S_{2001}$, если $a_{1001} = 2000$.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$ используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й член, а $n$ — количество членов.

Нам необходимо вычислить $S_{2001}$. Применяя формулу, получаем: $S_{2001} = \frac{a_1 + a_{2001}}{2} \cdot 2001$.

Одним из свойств арифметической прогрессии является то, что сумма членов, равноудаленных от начала и конца, постоянна. Для прогрессии с нечетным числом членов $n = 2k-1$ это свойство означает, что сумма первого и последнего членов равна удвоенному среднему члену ($a_k$): $a_1 + a_n = 2a_k$, где $k = \frac{n+1}{2}$ — номер среднего члена.

В нашем случае количество членов $n = 2001$, что является нечетным числом. Номер среднего члена равен: $k = \frac{2001 + 1}{2} = \frac{2002}{2} = 1001$. Таким образом, $a_{1001}$ является средним членом данной последовательности из 2001 членов.

Следовательно, мы можем выразить сумму первого и последнего членов через средний член: $a_1 + a_{2001} = 2a_{1001}$.

Теперь подставим это выражение в формулу для $S_{2001}$: $S_{2001} = \frac{2a_{1001}}{2} \cdot 2001 = a_{1001} \cdot 2001$.

Согласно условию задачи, нам дано значение $a_{1001} = 2000$. Подставим это значение в полученное уравнение: $S_{2001} = 2000 \cdot 2001 = 4002000$.

Ответ: $4002000$.

472. Задача Пифагора (580–500 гг. до н. э.).

Найдите сумму первых нечётных натуральных чисел:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1).$

Данная задача предлагает найти сумму первых $n$ нечётных натуральных чисел. Последовательность $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ представляет собой арифметическую прогрессию.

Для решения задачи можно использовать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 1$.
• n-й член прогрессии, который является последним в сумме: $a_n = 2n - 1$.
• Количество членов в сумме: $n$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Теперь подставим в эту формулу наши значения для $a_1$ и $a_n$:

$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:

$S_n = \frac{1 + 2n - 1}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n$

Сократив $2$ в числителе и знаменателе, получаем конечный результат:

$S_n = n \cdot n = n^2$

Интересно, что этот результат имеет красивую геометрическую интерпретацию, которую, вероятно, и использовали пифагорейцы. Сумма последовательных нечётных чисел образует квадрат:

• $1 = 1^2$
• $1 + 3 = 4 = 2^2$
• $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$
• $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$

Это можно представить как построение квадратов. Начав с квадрата $1 \times 1$, мы добавляем L-образную фигуру (гномон) из 3-х блоков, чтобы получить квадрат $2 \times 2$. Затем добавляем гномон из 5-и блоков, чтобы получить квадрат $3 \times 3$, и так далее. Количество блоков в n-м гномоне, который достраивает квадрат $(n-1) \times (n-1)$ до квадрата $n \times n$, равно $n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$, что и является n-м нечётным числом.

Таким образом, сумма первых $n$ нечётных натуральных чисел всегда равна квадрату их количества.

Ответ: $n^2$.

473. Задача из папируса Ахмеса (XVIII–XVII вв. до н. э.).

Разделите 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет $ \frac{1}{8} $ меры.

Данная задача представляет собой задачу на арифметическую прогрессию. Количество хлеба, которое получает каждый из 10 человек, является последовательными членами арифметической прогрессии.

Обозначим условия задачи в терминах арифметической прогрессии:

• Число членов прогрессии (количество человек) $n = 10$.
• Сумма всех членов прогрессии (общее количество хлеба) $S_{10} = 10$ мер.
• Разность прогрессии (на сколько порция следующего человека больше порции предыдущего) $d = \frac{1}{8}$ меры.

Нам необходимо найти все члены этой прогрессии от $a_1$ до $a_{10}$.

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Здесь $a_1$ — это количество хлеба, которое получил первый человек. Подставим в формулу известные нам значения, чтобы найти $a_1$.

$10 = \frac{2a_1 + \frac{1}{8}(10-1)}{2} \cdot 10$

Сократим уравнение, разделив обе части на 10:

$1 = \frac{2a_1 + \frac{1}{8} \cdot 9}{2}$

$1 = \frac{2a_1 + \frac{9}{8}}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2 = 2a_1 + \frac{9}{8}$

Теперь найдем $2a_1$:

$2a_1 = 2 - \frac{9}{8} = \frac{16}{8} - \frac{9}{8} = \frac{7}{8}$

И, наконец, найдем $a_1$:

$a_1 = \frac{7}{8 \cdot 2} = \frac{7}{16}$

Таким образом, первый человек получил $\frac{7}{16}$ меры хлеба. Зная первый член и разность прогрессии ($d = \frac{1}{8} = \frac{2}{16}$), мы можем найти долю каждого человека:

• 1-й человек: $a_1 = \frac{7}{16}$ меры
• 2-й человек: $a_2 = \frac{7}{16} + \frac{2}{16} = \frac{9}{16}$ меры
• 3-й человек: $a_3 = \frac{9}{16} + \frac{2}{16} = \frac{11}{16}$ меры
• 4-й человек: $a_4 = \frac{11}{16} + \frac{2}{16} = \frac{13}{16}$ меры
• 5-й человек: $a_5 = \frac{13}{16} + \frac{2}{16} = \frac{15}{16}$ меры
• 6-й человек: $a_6 = \frac{15}{16} + \frac{2}{16} = \frac{17}{16}$ или $1 \frac{1}{16}$ меры
• 7-й человек: $a_7 = \frac{17}{16} + \frac{2}{16} = \frac{19}{16}$ или $1 \frac{3}{16}$ меры
• 8-й человек: $a_8 = \frac{19}{16} + \frac{2}{16} = \frac{21}{16}$ или $1 \frac{5}{16}$ меры
• 9-й человек: $a_9 = \frac{21}{16} + \frac{2}{16} = \frac{23}{16}$ или $1 \frac{7}{16}$ меры
• 10-й человек: $a_{10} = \frac{23}{16} + \frac{2}{16} = \frac{25}{16}$ или $1 \frac{9}{16}$ меры

Для проверки можно сложить все доли и убедиться, что в сумме они дают 10 мер. Используем формулу суммы через первый и последний члены:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot n = \frac{\frac{7}{16} + \frac{25}{16}}{2} \cdot 10 = \frac{\frac{32}{16}}{2} \cdot 10 = \frac{2}{2} \cdot 10 = 10$

Расчеты верны. Если бы доли уменьшались, мы бы получили тот же набор чисел, но в обратном порядке.

Ответ: доли хлеба для 10 человек составляют $\frac{7}{16}, \frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}, \frac{17}{16}, \frac{19}{16}, \frac{21}{16}, \frac{23}{16}, \frac{25}{16}$ мер.

474. Доказываем.

В арифметической прогрессии сумма первых $m$ членов равна сумме первых $n$ членов ($m \ne n$). Докажите, что сумма первых $(m + n)$ членов равна нулю.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.

Формула суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_k = \frac{2a_1 + d(k-1)}{2} \cdot k$

По условию задачи, сумма первых $m$ членов равна сумме первых $n$ членов, то есть $S_m = S_n$, причём $m \neq n$. Запишем это равенство, используя формулу суммы: $\frac{2a_1 + d(m-1)}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Умножим обе части уравнения на 2 и раскроем скобки: $(2a_1 + dm - d) \cdot m = (2a_1 + dn - d) \cdot n$ $2a_1m + dm^2 - dm = 2a_1n + dn^2 - dn$

Перенесём все члены в левую часть уравнения и сгруппируем их по общим множителям: $(2a_1m - 2a_1n) + (dm^2 - dn^2) - (dm - dn) = 0$ $2a_1(m - n) + d(m^2 - n^2) - d(m - n) = 0$

Используя формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$, вынесем общий множитель $(m - n)$ за скобки: $(m - n) [2a_1 + d(m + n) - d] = 0$

Так как по условию $m \neq n$, то разность $m - n \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(m - n)$, не равное нулю: $2a_1 + d(m + n) - d = 0$ $2a_1 + d(m + n - 1) = 0$

Теперь нам нужно доказать, что сумма первых $(m + n)$ членов прогрессии, $S_{m+n}$, равна нулю. Запишем формулу для этой суммы: $S_{m+n} = \frac{2a_1 + d(m+n-1)}{2} \cdot (m+n)$

Из полученного ранее равенства мы знаем, что выражение в числителе дроби, $2a_1 + d(m+n-1)$, равно нулю. Подставим это значение в формулу для $S_{m+n}$: $S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n) = 0$

Таким образом, доказано, что сумма первых $(m + n)$ членов данной арифметической прогрессии равна нулю.

Ответ: утверждение доказано.