Страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

454. Сколько отрицательных членов имеет арифметическая прогрессия:

а) $-3.9, -3.7, -3.5, ...;$

б) $-8.2, -7.9, -7.6, ...;$

в) $-18\frac{2}{3}, -15\frac{1}{3}, -12, ...;$

г) $-16\frac{1}{4}, -15\frac{1}{2}, -14\frac{3}{4}, ...?$

а) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: -3,9, -3,7, -3,5, ...
Для нахождения количества отрицательных членов прогрессии необходимо определить ее первый член $a_1$ и разность $d$.
Первый член прогрессии $a_1 = -3,9$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -3,7 - (-3,9) = -3,7 + 3,9 = 0,2$.
Отрицательные члены прогрессии удовлетворяют условию $a_n < 0$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения и решим неравенство относительно $n$:
$-3,9 + (n-1) \cdot 0,2 < 0$
$0,2(n-1) < 3,9$
$n-1 < \frac{3,9}{0,2}$
$n-1 < 19,5$
$n < 20,5$
Так как номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 20.
Следовательно, в данной прогрессии 20 отрицательных членов.
Ответ: 20

б) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: -8,2, -7,9, -7,6, ...
Найдем первый член и разность прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = -8,2$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -7,9 - (-8,2) = -7,9 + 8,2 = 0,3$.
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$a_1 + (n-1)d < 0$
$-8,2 + (n-1) \cdot 0,3 < 0$
$0,3(n-1) < 8,2$
$n-1 < \frac{8,2}{0,3}$
$n-1 < \frac{82}{3}$
$n-1 < 27\frac{1}{3}$
$n < 28\frac{1}{3}$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 28.
Следовательно, в данной прогрессии 28 отрицательных членов.
Ответ: 28

в) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: $-18\frac{2}{3}, -15\frac{1}{3}, -12, ...$
Найдем первый член и разность прогрессии, представив смешанные дроби в виде неправильных.
Первый член прогрессии $a_1 = -18\frac{2}{3} = -\frac{18 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{56}{3}$.
Второй член $a_2 = -15\frac{1}{3} = -\frac{15 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{46}{3}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -\frac{46}{3} - (-\frac{56}{3}) = \frac{56 - 46}{3} = \frac{10}{3}$.
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-\frac{56}{3} + (n-1) \cdot \frac{10}{3} < 0$
Умножим обе части неравенства на 3:
$-56 + 10(n-1) < 0$
$10(n-1) < 56$
$n-1 < 5,6$
$n < 6,6$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 6.
Следовательно, в данной прогрессии 6 отрицательных членов.
Ответ: 6

г) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: $-16\frac{1}{4}, -15\frac{1}{2}, -14\frac{3}{4}, ...$
Для удобства вычислений переведем смешанные дроби в десятичные или приведем к общему знаменателю.
$a_1 = -16\frac{1}{4} = -16,25$.
$a_2 = -15\frac{1}{2} = -15,5$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -15,5 - (-16,25) = -15,5 + 16,25 = 0,75$.
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-16,25 + (n-1) \cdot 0,75 < 0$
$0,75(n-1) < 16,25$
$n-1 < \frac{16,25}{0,75}$
$n-1 < \frac{1625}{75} = \frac{65}{3}$
$n-1 < 21\frac{2}{3}$
$n < 22\frac{2}{3}$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 22.
Следовательно, в данной прогрессии 22 отрицательных члена.
Ответ: 22

455. Доказываем. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена:

a) $a_n = 3n - 7$;

б) $a_n = -3n + 5$;

в) $a_n = 2n + 8$;

г) $a_n = -2n - 3$, является арифметической прогрессией.

Для того чтобы доказать, что последовательность является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между ее $(n+1)$-м и $n$-м членами является постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта разность $d = a_{n+1} - a_n$ называется разностью арифметической прогрессии.

а) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = 3n - 7$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 3(n+1) - 7 = 3n + 3 - 7 = 3n - 4$.

Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (3n - 4) - (3n - 7) = 3n - 4 - 3n + 7 = 3$.

Поскольку разность $d = 3$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной 3.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = 3$ постоянна.

б) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = -3n + 5$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -3(n+1) + 5 = -3n - 3 + 5 = -3n + 2$.

Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (-3n + 2) - (-3n + 5) = -3n + 2 + 3n - 5 = -3$.

Поскольку разность $d = -3$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной -3.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = -3$ постоянна.

в) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = 2n + 8$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 2(n+1) + 8 = 2n + 2 + 8 = 2n + 10$.

Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (2n + 10) - (2n + 8) = 2n + 10 - 2n - 8 = 2$.

Поскольку разность $d = 2$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной 2.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = 2$ постоянна.

г) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = -2n - 3$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -2(n+1) - 3 = -2n - 2 - 3 = -2n - 5$.

Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (-2n - 5) - (-2n - 3) = -2n - 5 + 2n + 3 = -2$.

Поскольку разность $d = -2$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной -2.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = -2$ постоянна.

456. Верно ли, что арифметическая прогрессия:

а) возрастает и ограничена снизу, если $d > 0$;

б) убывает и ограничена сверху, если $d < 0$?

а) Чтобы проверить данное утверждение, необходимо рассмотреть два аспекта: является ли арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d > 0$ возрастающей и является ли она ограниченной снизу.

Проверим на возрастание. Последовательность является строго возрастающей, если каждый её последующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами арифметической прогрессии равна её разности $d$: $a_{n+1} - a_n = d$. По условию $d > 0$, поэтому $a_{n+1} > a_n$ для всех $n$. Следовательно, прогрессия является возрастающей.

Проверим на ограниченность снизу. Последовательность ограничена снизу, если существует число $M$, такое что все её члены $a_n$ удовлетворяют неравенству $a_n \ge M$. Так как при $d > 0$ прогрессия возрастает, её наименьшим членом является первый член $a_1$. Это можно доказать с помощью формулы n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$. Поскольку $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$. Учитывая, что $d > 0$, произведение $(n-1)d \ge 0$. Таким образом, $a_n = a_1 + (n-1)d \ge a_1$. Все члены прогрессии не меньше $a_1$, значит, прогрессия ограничена снизу (например, числом $a_1$).

Так как оба условия (возрастание и ограниченность снизу) выполняются, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) Аналогично проверим утверждение для арифметической прогрессии $(a_n)$ с разностью $d < 0$. Необходимо рассмотреть два аспекта: убывание и ограниченность сверху.

Проверим на убывание. Последовательность является строго убывающей, если каждый её последующий член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Разность между соседними членами $a_{n+1} - a_n = d$. По условию $d < 0$, поэтому $a_{n+1} < a_n$ для всех $n$. Следовательно, прогрессия является убывающей.

Проверим на ограниченность сверху. Последовательность ограничена сверху, если существует число $K$, такое что все её члены $a_n$ удовлетворяют неравенству $a_n \le K$. Так как при $d < 0$ прогрессия убывает, её наибольшим членом является первый член $a_1$. Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, и учитывая, что $n-1 \ge 0$ и $d < 0$, получаем, что произведение $(n-1)d \le 0$. Таким образом, $a_n = a_1 + (n-1)d \le a_1$. Все члены прогрессии не превосходят $a_1$, значит, прогрессия ограничена сверху (например, числом $a_1$).

Так как оба условия (убывание и ограниченность сверху) выполняются, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

457. Предприниматель взял в банке кредит на сумму $a$ р. при условии, что в конце каждого месяца его долг перед банком будет увеличиваться на $p\%$ от суммы взятого кредита. Предприниматель вернул деньги банку сполна в сумме $b$ р. через $n$ месяцев.

а) Какую сумму предприниматель вернул банку, если $a = 500\,000$, $p = 2$, $n = 10$?

б) На какую сумму предприниматель взял кредит, если $p = 2$, $n = 12$, $b = 992\,000$?

в) Через сколько месяцев предприниматель вернул банку деньги, если $a = 600\,000$, $p = 3$, $b = 852\,000$?

г) Под какой процент в месяц предприниматель взял кредит, если $a = 700\,000$, $n = 6$, $b = 910\,000$?

В условии задачи описана схема начисления простых процентов. Проценты начисляются каждый месяц на первоначальную сумму долга $a$. Ежемесячное увеличение долга составляет $a \cdot \frac{p}{100}$ рублей. За $n$ месяцев общая сумма начисленных процентов составит $n \cdot a \cdot \frac{p}{100}$. Итоговая сумма к возврату $b$ складывается из первоначальной суммы кредита $a$ и всех начисленных процентов.

Таким образом, общая формула, связывающая все переменные, выглядит так:

$b = a + n \cdot \frac{a \cdot p}{100}$ или $b = a \cdot (1 + \frac{n \cdot p}{100})$

Используем эту формулу для решения всех подпунктов задачи.

а) Какую сумму предприниматель вернул банку, если a = 500 000, p = 2, n = 10?
Дано: $a = 500 000$ р., $p = 2$, $n = 10$.
Подставим значения в формулу, чтобы найти итоговую сумму $b$:
$b = 500 000 \cdot (1 + \frac{10 \cdot 2}{100}) = 500 000 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 500 000 \cdot (1 + 0,2) = 500 000 \cdot 1,2 = 600 000$ р.
Ответ: 600 000 рублей.

б) На какую сумму предприниматель взял кредит, если p = 2, n = 12, b = 992 000?
Дано: $p = 2$, $n = 12$, $b = 992 000$ р.
Выразим начальную сумму кредита $a$ из общей формулы: $a = \frac{b}{1 + \frac{n \cdot p}{100}}$.
Подставим известные значения:
$a = \frac{992 000}{1 + \frac{12 \cdot 2}{100}} = \frac{992 000}{1 + \frac{24}{100}} = \frac{992 000}{1 + 0,24} = \frac{992 000}{1,24} = 800 000$ р.
Ответ: 800 000 рублей.

в) Через сколько месяцев предприниматель вернул банку деньги, если a = 600 000, p = 3, b = 852 000?
Дано: $a = 600 000$ р., $p = 3$, $b = 852 000$ р.
Выразим срок кредита $n$ из общей формулы: $\frac{b}{a} = 1 + \frac{n \cdot p}{100} \implies n = (\frac{b}{a} - 1) \cdot \frac{100}{p}$.
Подставим известные значения:
$n = (\frac{852 000}{600 000} - 1) \cdot \frac{100}{3} = (1,42 - 1) \cdot \frac{100}{3} = 0,42 \cdot \frac{100}{3} = \frac{42}{3} = 14$ месяцев.
Ответ: 14 месяцев.

г) Под какой процент в месяц предприниматель взял кредит, если a = 700 000, n = 6, b = 910 000?
Дано: $a = 700 000$ р., $n = 6$, $b = 910 000$ р.
Выразим процентную ставку $p$ из общей формулы: $\frac{b}{a} = 1 + \frac{n \cdot p}{100} \implies p = (\frac{b}{a} - 1) \cdot \frac{100}{n}$.
Подставим известные значения:
$p = (\frac{910 000}{700 000} - 1) \cdot \frac{100}{6} = (\frac{91}{70} - 1) \cdot \frac{100}{6} = (1,3 - 1) \cdot \frac{100}{6} = 0,3 \cdot \frac{100}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
Ответ: 5%.

458. Покажите, как ответ к каждой задаче из предыдущего номера можно получить с помощью формулы общего члена арифметической прогрессии.

Для решения задач используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — искомый член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а)

Дано: $a_1 = 2$, $d = 5$.

Находим 23-й член прогрессии:

$a_{23} = 2 + (23-1) \cdot 5 = 2 + 22 \cdot 5 = 2 + 110 = 112$.

Находим 38-й член прогрессии:

$a_{38} = 2 + (38-1) \cdot 5 = 2 + 37 \cdot 5 = 2 + 185 = 187$.

Находим формулу для n-го члена данной прогрессии:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 5 = 2 + 5n - 5 = 5n - 3$.

Ответ: $a_{23} = 112$; $a_{38} = 187$; $a_n = 5n - 3$.

б)

Дано: $a_1 = -3$, $d = -2$.

Находим 23-й член прогрессии:

$a_{23} = -3 + (23-1) \cdot (-2) = -3 + 22 \cdot (-2) = -3 - 44 = -47$.

Находим 38-й член прогрессии:

$a_{38} = -3 + (38-1) \cdot (-2) = -3 + 37 \cdot (-2) = -3 - 74 = -77$.

Находим формулу для n-го члена данной прогрессии:

$a_n = -3 + (n-1) \cdot (-2) = -3 - 2n + 2 = -2n - 1$.

Ответ: $a_{23} = -47$; $a_{38} = -77$; $a_n = -2n - 1$.

в)

Дано: $a_1 = 4$, $d = 0.5$.

Находим 23-й член прогрессии:

$a_{23} = 4 + (23-1) \cdot 0.5 = 4 + 22 \cdot 0.5 = 4 + 11 = 15$.

Находим 38-й член прогрессии:

$a_{38} = 4 + (38-1) \cdot 0.5 = 4 + 37 \cdot 0.5 = 4 + 18.5 = 22.5$.

Находим формулу для n-го члена данной прогрессии:

$a_n = 4 + (n-1) \cdot 0.5 = 4 + 0.5n - 0.5 = 0.5n + 3.5$.

Ответ: $a_{23} = 15$; $a_{38} = 22.5$; $a_n = 0.5n + 3.5$.

г)

Дано: $a_1 = -1.5$, $d = 3$.

Находим 23-й член прогрессии:

$a_{23} = -1.5 + (23-1) \cdot 3 = -1.5 + 22 \cdot 3 = -1.5 + 66 = 64.5$.

Находим 38-й член прогрессии:

$a_{38} = -1.5 + (38-1) \cdot 3 = -1.5 + 37 \cdot 3 = -1.5 + 111 = 109.5$.

Находим формулу для n-го члена данной прогрессии:

$a_n = -1.5 + (n-1) \cdot 3 = -1.5 + 3n - 3 = 3n - 4.5$.

Ответ: $a_{23} = 64.5$; $a_{38} = 109.5$; $a_n = 3n - 4.5$.