Номер 455, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

455. Доказываем. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена:

a) $a_n = 3n - 7$;

б) $a_n = -3n + 5$;

в) $a_n = 2n + 8$;

г) $a_n = -2n - 3$, является арифметической прогрессией.

Для того чтобы доказать, что последовательность является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между ее $(n+1)$-м и $n$-м членами является постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта разность $d = a_{n+1} - a_n$ называется разностью арифметической прогрессии.

а) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = 3n - 7$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 3(n+1) - 7 = 3n + 3 - 7 = 3n - 4$.

Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (3n - 4) - (3n - 7) = 3n - 4 - 3n + 7 = 3$.

Поскольку разность $d = 3$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной 3.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = 3$ постоянна.

б) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = -3n + 5$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -3(n+1) + 5 = -3n - 3 + 5 = -3n + 2$.

Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (-3n + 2) - (-3n + 5) = -3n + 2 + 3n - 5 = -3$.

Поскольку разность $d = -3$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной -3.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = -3$ постоянна.

в) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = 2n + 8$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 2(n+1) + 8 = 2n + 2 + 8 = 2n + 10$.

Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (2n + 10) - (2n + 8) = 2n + 10 - 2n - 8 = 2$.

Поскольку разность $d = 2$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной 2.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = 2$ постоянна.

г) Дана последовательность, заданная формулой $a_n = -2n - 3$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -2(n+1) - 3 = -2n - 2 - 3 = -2n - 5$.

Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$d = a_{n+1} - a_n = (-2n - 5) - (-2n - 3) = -2n - 5 + 2n + 3 = -2$.

Поскольку разность $d = -2$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной -2.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как ее разность $d = a_{n+1} - a_n = -2$ постоянна.