Номер 454, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

454. Сколько отрицательных членов имеет арифметическая прогрессия:

а) $-3.9, -3.7, -3.5, ...;$

б) $-8.2, -7.9, -7.6, ...;$

в) $-18\frac{2}{3}, -15\frac{1}{3}, -12, ...;$

г) $-16\frac{1}{4}, -15\frac{1}{2}, -14\frac{3}{4}, ...?$

а) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: -3,9, -3,7, -3,5, ...
Для нахождения количества отрицательных членов прогрессии необходимо определить ее первый член $a_1$ и разность $d$.
Первый член прогрессии $a_1 = -3,9$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -3,7 - (-3,9) = -3,7 + 3,9 = 0,2$.
Отрицательные члены прогрессии удовлетворяют условию $a_n < 0$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения и решим неравенство относительно $n$:
$-3,9 + (n-1) \cdot 0,2 < 0$
$0,2(n-1) < 3,9$
$n-1 < \frac{3,9}{0,2}$
$n-1 < 19,5$
$n < 20,5$
Так как номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 20.
Следовательно, в данной прогрессии 20 отрицательных членов.
Ответ: 20

б) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: -8,2, -7,9, -7,6, ...
Найдем первый член и разность прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = -8,2$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -7,9 - (-8,2) = -7,9 + 8,2 = 0,3$.
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$a_1 + (n-1)d < 0$
$-8,2 + (n-1) \cdot 0,3 < 0$
$0,3(n-1) < 8,2$
$n-1 < \frac{8,2}{0,3}$
$n-1 < \frac{82}{3}$
$n-1 < 27\frac{1}{3}$
$n < 28\frac{1}{3}$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 28.
Следовательно, в данной прогрессии 28 отрицательных членов.
Ответ: 28

в) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: $-18\frac{2}{3}, -15\frac{1}{3}, -12, ...$
Найдем первый член и разность прогрессии, представив смешанные дроби в виде неправильных.
Первый член прогрессии $a_1 = -18\frac{2}{3} = -\frac{18 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{56}{3}$.
Второй член $a_2 = -15\frac{1}{3} = -\frac{15 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{46}{3}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -\frac{46}{3} - (-\frac{56}{3}) = \frac{56 - 46}{3} = \frac{10}{3}$.
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-\frac{56}{3} + (n-1) \cdot \frac{10}{3} < 0$
Умножим обе части неравенства на 3:
$-56 + 10(n-1) < 0$
$10(n-1) < 56$
$n-1 < 5,6$
$n < 6,6$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 6.
Следовательно, в данной прогрессии 6 отрицательных членов.
Ответ: 6

г) Дана арифметическая прогрессия $a_n$: $-16\frac{1}{4}, -15\frac{1}{2}, -14\frac{3}{4}, ...$
Для удобства вычислений переведем смешанные дроби в десятичные или приведем к общему знаменателю.
$a_1 = -16\frac{1}{4} = -16,25$.
$a_2 = -15\frac{1}{2} = -15,5$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -15,5 - (-16,25) = -15,5 + 16,25 = 0,75$.
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-16,25 + (n-1) \cdot 0,75 < 0$
$0,75(n-1) < 16,25$
$n-1 < \frac{16,25}{0,75}$
$n-1 < \frac{1625}{75} = \frac{65}{3}$
$n-1 < 21\frac{2}{3}$
$n < 22\frac{2}{3}$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 22.
Следовательно, в данной прогрессии 22 отрицательных члена.
Ответ: 22