Номер 456, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

456. Верно ли, что арифметическая прогрессия:

а) возрастает и ограничена снизу, если $d > 0$;

б) убывает и ограничена сверху, если $d < 0$?

а) Чтобы проверить данное утверждение, необходимо рассмотреть два аспекта: является ли арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d > 0$ возрастающей и является ли она ограниченной снизу.

Проверим на возрастание. Последовательность является строго возрастающей, если каждый её последующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$. Разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами арифметической прогрессии равна её разности $d$: $a_{n+1} - a_n = d$. По условию $d > 0$, поэтому $a_{n+1} > a_n$ для всех $n$. Следовательно, прогрессия является возрастающей.

Проверим на ограниченность снизу. Последовательность ограничена снизу, если существует число $M$, такое что все её члены $a_n$ удовлетворяют неравенству $a_n \ge M$. Так как при $d > 0$ прогрессия возрастает, её наименьшим членом является первый член $a_1$. Это можно доказать с помощью формулы n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$. Поскольку $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$. Учитывая, что $d > 0$, произведение $(n-1)d \ge 0$. Таким образом, $a_n = a_1 + (n-1)d \ge a_1$. Все члены прогрессии не меньше $a_1$, значит, прогрессия ограничена снизу (например, числом $a_1$).

Так как оба условия (возрастание и ограниченность снизу) выполняются, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) Аналогично проверим утверждение для арифметической прогрессии $(a_n)$ с разностью $d < 0$. Необходимо рассмотреть два аспекта: убывание и ограниченность сверху.

Проверим на убывание. Последовательность является строго убывающей, если каждый её последующий член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$. Разность между соседними членами $a_{n+1} - a_n = d$. По условию $d < 0$, поэтому $a_{n+1} < a_n$ для всех $n$. Следовательно, прогрессия является убывающей.

Проверим на ограниченность сверху. Последовательность ограничена сверху, если существует число $K$, такое что все её члены $a_n$ удовлетворяют неравенству $a_n \le K$. Так как при $d < 0$ прогрессия убывает, её наибольшим членом является первый член $a_1$. Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, и учитывая, что $n-1 \ge 0$ и $d < 0$, получаем, что произведение $(n-1)d \le 0$. Таким образом, $a_n = a_1 + (n-1)d \le a_1$. Все члены прогрессии не превосходят $a_1$, значит, прогрессия ограничена сверху (например, числом $a_1$).

Так как оба условия (убывание и ограниченность сверху) выполняются, утверждение верно.

Ответ: да, верно.