Номер 451, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

451. Является ли число 12 членом арифметической прогрессии:

а) -10, -8, -6, ...;

б) -11, -8, -5, ...;

в) -3, 0, 3, ...;

г) 44,5, 43, 41,5, ...?

Если да, то укажите его номер.

Чтобы определить, является ли число 12 членом арифметической прогрессии, нужно проверить, существует ли такой натуральный номер $n$, для которого член прогрессии $a_n$ будет равен 12. Для этого используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Если в результате решения уравнения для $n$ получится натуральное число (целое и положительное), то число 12 является членом прогрессии, и $n$ — его номер.

а) Для прогрессии $-10, -8, -6, ...$ первый член $a_1 = -10$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = -8 - (-10) = 2$. Подставим известные значения в формулу n-го члена, приняв $a_n = 12$: $12 = -10 + (n-1) \cdot 2$ Решим уравнение относительно $n$: $12 + 10 = 2(n-1)$ $22 = 2(n-1)$ $11 = n-1$ $n = 12$ Поскольку $n=12$ является натуральным числом, число 12 является членом этой прогрессии.
Ответ: да, является, номер 12.

б) Для прогрессии $-11, -8, -5, ...$ первый член $a_1 = -11$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = -8 - (-11) = 3$. Подставим известные значения в формулу, приняв $a_n = 12$: $12 = -11 + (n-1) \cdot 3$ Решим уравнение относительно $n$: $12 + 11 = 3(n-1)$ $23 = 3(n-1)$ $n-1 = \frac{23}{3}$ $n = \frac{23}{3} + 1 = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$ Поскольку $n$ не является натуральным числом, число 12 не является членом этой прогрессии.
Ответ: нет, не является.

в) Для прогрессии $-3, 0, 3, ...$ первый член $a_1 = -3$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 0 - (-3) = 3$. Подставим известные значения в формулу, приняв $a_n = 12$: $12 = -3 + (n-1) \cdot 3$ Решим уравнение относительно $n$: $12 + 3 = 3(n-1)$ $15 = 3(n-1)$ $5 = n-1$ $n = 6$ Поскольку $n=6$ является натуральным числом, число 12 является членом этой прогрессии.
Ответ: да, является, номер 6.

г) Для прогрессии $44,5; 43; 41,5; ...$ первый член $a_1 = 44,5$. Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 43 - 44,5 = -1,5$. Подставим известные значения в формулу, приняв $a_n = 12$: $12 = 44,5 + (n-1) \cdot (-1,5)$ Решим уравнение относительно $n$: $12 - 44,5 = -1,5(n-1)$ $-32,5 = -1,5(n-1)$ $n-1 = \frac{-32,5}{-1,5} = \frac{325}{15} = \frac{65}{3}$ $n = \frac{65}{3} + 1 = \frac{68}{3} = 22\frac{2}{3}$ Поскольку $n$ не является натуральным числом, число 12 не является членом этой прогрессии.
Ответ: нет, не является.