Номер 446, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

446. В арифметической прогрессии ${$a_n$}$ найдите:

а) ${$a_2$}$ и ${$d$}$, если ${$a_3 = 5$}$, ${$a_4 = 9$}$;

б) ${$a_1$}$ и ${$d$}$, если ${$a_2 = 7$}$, ${$a_3 = 4$}$;

в) ${$a_5$}$ и ${$d$}$, если ${$a_6 = 8$}$, ${$a_4 = 12$}$;

г) ${$a_7$}$ и ${$d$}$, если ${$a_6 = -15$}$, ${$a_8 = -11$}$.

а) В арифметической прогрессии разность $d$ (шаг прогрессии) постоянна и равна разности между последующим и предыдущим членами: $d = a_{n} - a_{n-1}$.
Используя данные значения $a_3 = 5$ и $a_4 = 9$, найдем разность $d$:
$d = a_4 - a_3 = 9 - 5 = 4$.
Теперь найдем второй член прогрессии $a_2$. Мы знаем, что $a_3 = a_2 + d$. Отсюда:
$a_2 = a_3 - d = 5 - 4 = 1$.
Ответ: $a_2 = 1, d = 4$.

б) Найдем разность прогрессии $d$, используя известные члены $a_2 = 7$ и $a_3 = 4$:
$d = a_3 - a_2 = 4 - 7 = -3$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + d$. Отсюда:
$a_1 = a_2 - d = 7 - (-3) = 7 + 3 = 10$.
Ответ: $a_1 = 10, d = -3$.

в) Для нахождения разности $d$ воспользуемся общей формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим известные значения $a_6 = 8$ и $a_4 = 12$:
$a_6 = a_4 + (6-4)d$
$8 = 12 + 2d$
$2d = 8 - 12$
$2d = -4$
$d = -2$.
Член $a_5$ находится между $a_4$ и $a_6$ и является их средним арифметическим: $a_5 = \frac{a_4 + a_6}{2}$.
$a_5 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Также можно было найти $a_5$ через $a_4$ и $d$: $a_5 = a_4 + d = 12 + (-2) = 10$.
Ответ: $a_5 = 10, d = -2$.

г) Снова используем формулу $a_n = a_m + (n-m)d$ для известных членов $a_8 = -11$ и $a_6 = -15$:
$a_8 = a_6 + (8-6)d$
$-11 = -15 + 2d$
$2d = -11 - (-15)$
$2d = -11 + 15$
$2d = 4$
$d = 2$.
Член $a_7$ является средним арифметическим для $a_6$ и $a_8$: $a_7 = \frac{a_6 + a_8}{2}$.
$a_7 = \frac{-15 + (-11)}{2} = \frac{-26}{2} = -13$.
Также можно было найти $a_7$ через $a_6$ и $d$: $a_7 = a_6 + d = -15 + 2 = -13$.
Ответ: $a_7 = -13, d = 2$.