Номер 439, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

439. а) Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

б) Что называют разностью арифметической прогрессии?

в) Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

г) Какими свойствами обладает арифметическая прогрессия?

а) Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии. Иными словами, последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — некоторое постоянное число.

Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна.

б) Разностью арифметической прогрессии (обозначается буквой $d$) называют то постоянное число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Разность можно найти, вычтя из любого члена прогрессии (начиная со второго) предшествующий ему член: $d = a_{n+1} - a_n$. Если разность $d > 0$, то прогрессия является возрастающей. Если $d < 0$, — убывающей. Если $d = 0$, то все члены прогрессии равны между собой, и она является постоянной последовательностью (стационарной).

Ответ: Разность арифметической прогрессии — это постоянное число $d$, которое равно разности между любым последующим и предыдущим членом прогрессии ($d = a_{n+1} - a_n$).

в) Формула $n$-го члена арифметической прогрессии позволяет найти любой член последовательности, зная её первый член $a_1$ и разность $d$. Формула имеет следующий вид:$a_n = a_1 + (n-1)d$
Здесь $a_n$ — искомый $n$-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

Ответ: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

г) Арифметическая прогрессия обладает несколькими ключевыми свойствами:
1. Характеристическое свойство. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего). Математически это выражается формулой: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ для всех $n \ge 2$. Это свойство является отличительной чертой арифметической прогрессии.
2. Свойство равноудаленных членов. В конечной арифметической прогрессии сумма двух членов, равноудаленных от её концов, постоянна и равна сумме первого и последнего членов. То есть, $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ для любого $k$ в пределах от $1$ до $n$.
3. Сумма первых $n$ членов. Сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n$ может быть вычислена по формулам: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или, подставив формулу $n$-го члена, $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Ответ: Основные свойства: каждый член (кроме первого) равен среднему арифметическому своих соседей ($a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$); сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна ($a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$).