Номер 434, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

434. Задайте формулой последовательность:

а) $2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, \dots$;

б) $2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, \dots$;

в) $0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, \dots$;

г) $1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, \dots$.

а) Последовательность $a_n$: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ....

В этой последовательности каждое натуральное число, начиная с 2, повторяется дважды. Значение члена последовательности, $a_n$, увеличивается на 1 через каждые два номера $n$. Это говорит о том, что формула должна быть связана с делением $n$ на 2.

Рассмотрим, как меняется целая часть от деления номера $n$ на 2. В математике для этого используется функция "пол" или "антье", обозначаемая как $\lfloor x \rfloor$.

Рассмотрим выражение $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$.

• При $n=1$, $\lfloor \frac{1-1}{2} \rfloor = \lfloor 0 \rfloor = 0$.
• При $n=2$, $\lfloor \frac{2-1}{2} \rfloor = \lfloor 0.5 \rfloor = 0$.
• При $n=3$, $\lfloor \frac{3-1}{2} \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$.
• При $n=4$, $\lfloor \frac{4-1}{2} \rfloor = \lfloor 1.5 \rfloor = 1$.
• При $n=5$, $\lfloor \frac{5-1}{2} \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = 2$.

Мы получили последовательность 0, 0, 1, 1, 2, 2, .... Сравнивая ее с исходной последовательностью 2, 2, 3, 3, 4, 4, ..., мы видим, что каждый член нашей последовательности на 2 меньше соответствующего члена исходной. Следовательно, чтобы получить искомую формулу, нужно прибавить 2.

Формула n-го члена последовательности: $a_n = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor + 2$.

Проверим ее: $a_1 = \lfloor \frac{1-1}{2} \rfloor + 2 = 0 + 2 = 2$. $a_2 = \lfloor \frac{2-1}{2} \rfloor + 2 = 0 + 2 = 2$. $a_3 = \lfloor \frac{3-1}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$. $a_4 = \lfloor \frac{4-1}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$.

Формула верна.

Ответ: $a_n = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor + 2$.

б) Последовательность $b_n$: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ....

Эта последовательность очень похожа на предыдущую. За исключением первого члена, каждое натуральное число, начиная с 3, повторяется дважды. Значение члена последовательности также увеличивается на 1, но сдвинуто по сравнению с пунктом а).

Рассмотрим выражение $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$.

• При $n=1$, $\lfloor \frac{1}{2} \rfloor = 0$.
• При $n=2$, $\lfloor \frac{2}{2} \rfloor = 1$.
• При $n=3$, $\lfloor \frac{3}{2} \rfloor = 1$.
• При $n=4$, $\lfloor \frac{4}{2} \rfloor = 2$.
• При $n=5$, $\lfloor \frac{5}{2} \rfloor = 2$.

Мы получили последовательность 0, 1, 1, 2, 2, .... Сравнивая ее с исходной 2, 3, 3, 4, 4, ..., мы видим, что каждый член нашей последовательности на 2 меньше. Значит, и здесь нужно прибавить 2.

Формула n-го члена последовательности: $b_n = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 2$.

Проверим ее: $b_1 = \lfloor \frac{1}{2} \rfloor + 2 = 0 + 2 = 2$. $b_2 = \lfloor \frac{2}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$. $b_3 = \lfloor \frac{3}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$. $b_4 = \lfloor \frac{4}{2} \rfloor + 2 = 2 + 2 = 4$.

Формула верна.

Ответ: $b_n = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 2$.

в) Последовательность $c_n$: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, ....

В этой последовательности число 0 повторяется 3 раза, а каждое следующее натуральное число $k \ge 1$ повторяется 4 раза.

Проанализируем, при каких номерах $n$ меняется значение члена последовательности:

• $c_n = 0$ для $n=1, 2, 3$.
• $c_n = 1$ для $n=4, 5, 6, 7$.
• $c_n = 2$ для $n=8, 9, 10, 11$.
• $c_n = k$ для $n$ от $4k$ до $4k+3$? Нет, это неверно.

Значение меняется с 0 на 1 при $n=4$. Значение меняется с 1 на 2 при $n=8$. Значение меняется с 2 на 3 при $n=12$. В общем, значение меняется с $k-1$ на $k$ (для $k \ge 1$) при $n=4k$. Это наблюдение указывает на связь с делением $n$ на 4.

Рассмотрим формулу $c_n = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$.

• Для $n=1, 2, 3$, $\lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ равно 0.
• Для $n=4, 5, 6, 7$, $\lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ равно 1.
• Для $n=8, 9, 10, 11$, $\lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ равно 2.

Эта формула дает последовательность $0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...$, что не соответствует исходной. Давайте внимательнее посмотрим на исходную последовательность.

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, ...

Кажется, моя предыдущая интерпретация была неверна. Число 0 повторяется 3 раза, а каждое целое число $k \ge 1$ повторяется 4 раза. Первый член, равный 1, имеет номер 4. Первый член, равный 2, имеет номер $3+4+1 = 8$. Первый член, равный 3, имеет номер $3+4+4+1=12$. Первый член, равный $k \ge 1$, имеет номер $3+4(k-1)+1 = 4k$. Значит, $c_n=k$ для $n$ в диапазоне $[4k, 4(k+1)-1-3] = [4k, 4k+3-3] = [4k, 4k]$. Нет, это не так. $c_n=k$ для $n$ в диапазоне от $4k$ до $4k+3$. Это верно для $k \ge 1$. Таким образом, для $n \ge 4$, $k = \lfloor n/4 \rfloor$. Проверим, что эта формула дает для $n=1, 2, 3$: $c_1 = \lfloor 1/4 \rfloor = 0$. $c_2 = \lfloor 2/4 \rfloor = 0$. $c_3 = \lfloor 3/4 \rfloor = 0$. Это совпадает с исходной последовательностью. Таким образом, формула $c_n = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ верна для всех $n \ge 1$.

Ответ: $c_n = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$.

г) Последовательность $d_n$: 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ....

Эта последовательность является периодической. Блок чисел (1, 2, 0) повторяется бесконечно. Период последовательности равен 3.

Периодичность наводит на мысль об использовании операции взятия остатка от деления. Рассмотрим остатки от деления номера члена последовательности $n$ на 3.

• При $n=1$, остаток от деления на 3 равен 1. Член последовательности $d_1=1$.
• При $n=2$, остаток от деления на 3 равен 2. Член последовательности $d_2=2$.
• При $n=3$, остаток от деления на 3 равен 0. Член последовательности $d_3=0$.
• При $n=4$, остаток от деления на 3 равен 1. Член последовательности $d_4=1$.
• При $n=5$, остаток от деления на 3 равен 2. Член последовательности $d_5=2$.
• При $n=6$, остаток от деления на 3 равен 0. Член последовательности $d_6=0$.

Видно, что n-й член последовательности в точности равен остатку от деления $n$ на 3.

Математически остаток от деления $n$ на $m$ (для натуральных $n$ и $m$) можно записать с помощью функции "пол": $n \pmod m = n - m \lfloor \frac{n}{m} \rfloor$.

В нашем случае $m=3$, поэтому формула n-го члена имеет вид: $d_n = n - 3 \lfloor \frac{n}{3} \rfloor$.

Проверим ее: $d_1 = 1 - 3 \lfloor \frac{1}{3} \rfloor = 1 - 3 \cdot 0 = 1$. $d_2 = 2 - 3 \lfloor \frac{2}{3} \rfloor = 2 - 3 \cdot 0 = 2$. $d_3 = 3 - 3 \lfloor \frac{3}{3} \rfloor = 3 - 3 \cdot 1 = 0$.

Формула верна.

Ответ: $d_n = n - 3 \lfloor \frac{n}{3} \rfloor$.