Номер 427, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

427. Какую последовательность называют:

а) невозрастающей;

б) неубывающей;

в) монотонной;

г) ограниченной сверху;

д) ограниченной снизу;

е) ограниченной;

ж) возрастающей;

з) убывающей?

Приведите примеры.

а) невозрастающей;

Последовательность $(a_n)$ называют невозрастающей, если каждый её член, начиная со второго, не больше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \le a_n$.

Пример: последовательность $5, 4, 4, 3, 2, 2, 2, 1, \dots$. В этой последовательности есть равные члены, но она в целом не возрастает. Другой пример — последовательность, заданная формулой $a_n = -n$: $-1, -2, -3, \dots$

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член не больше предыдущего ($a_{n+1} \le a_n$).

б) неубывающей;

Последовательность $(a_n)$ называют неубывающей, если каждый её член, начиная со второго, не меньше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \ge a_n$.

Пример: последовательность $1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, \dots$. В ней есть равные члены, но в целом она не убывает. Другой пример — последовательность, заданная формулой $a_n = n-1$: $0, 1, 2, 3, \dots$

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член не меньше предыдущего ($a_{n+1} \ge a_n$).

в) монотонной;

Последовательность называют монотонной, если она является невозрастающей или неубывающей.

Пример: любая возрастающая, убывающая, невозрастающая или неубывающая последовательность является монотонной. Например, последовательность $a_n = 2n$ ($2, 4, 6, \dots$) является монотонной, так как она неубывающая. Последовательность $b_n = 1/n$ ($1, 1/2, 1/3, \dots$) также монотонна, так как она невозрастающая. А вот последовательность $c_n = (-1)^n$ ($-1, 1, -1, 1, \dots$) не является монотонной.

Ответ: последовательность, которая является либо невозрастающей, либо неубывающей.

г) ограниченной сверху;

Последовательность $(a_n)$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n \le M$. Это число $M$ называют верхней границей последовательности.

Пример: последовательность $a_n = 1 - n$. Её члены: $0, -1, -2, -3, \dots$. Все члены этой последовательности не превосходят 0, то есть $a_n \le 0$ для любого $n$. Значит, эта последовательность ограничена сверху (например, числом 0 или любым числом больше 0).

Ответ: последовательность, все члены которой не превосходят некоторого числа $M$ ($a_n \le M$).

д) ограниченной снизу;

Последовательность $(a_n)$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n \ge m$. Это число $m$ называют нижней границей последовательности.

Пример: последовательность $a_n = n^2$. Её члены: $1, 4, 9, 16, \dots$. Все члены этой последовательности больше или равны 1, то есть $a_n \ge 1$ для любого $n$. Значит, эта последовательность ограничена снизу (например, числом 1 или любым числом меньше 1).

Ответ: последовательность, все члены которой не меньше некоторого числа $m$ ($a_n \ge m$).

е) ограниченной;

Последовательность $(a_n)$ называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. То есть существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех членов последовательности выполняется двойное неравенство $m \le a_n \le M$.

Пример: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$. Её члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$. Все члены этой последовательности находятся в промежутке $(0, 1]$, то есть $0 < a_n \le 1$. Значит, последовательность ограничена (снизу числом 0, сверху числом 1).

Ответ: последовательность, которая ограничена и сверху, и снизу ($m \le a_n \le M$).

ж) возрастающей;

Последовательность $(a_n)$ называют возрастающей (или строго возрастающей), если каждый её член, начиная со второго, строго больше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$.

Пример: последовательность натуральных чисел $a_n = n$. Её члены: $1, 2, 3, 4, \dots$. Каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Последовательность $1, 1, 2, 3, \dots$ не является строго возрастающей, но является неубывающей.

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член строго больше предыдущего ($a_{n+1} > a_n$).

з) убывающей?

Последовательность $(a_n)$ называют убывающей (или строго убывающей), если каждый её член, начиная со второго, строго меньше предыдущего. То есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} < a_n$.

Пример: последовательность $a_n = \frac{1}{2^n}$. Её члены: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$. Каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего. Последовательность $1, 1/2, 1/2, 1/3, \dots$ не является строго убывающей, но является невозрастающей.

Ответ: последовательность, у которой каждый следующий член строго меньше предыдущего ($a_{n+1} < a_n$).