Номер 431, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

431. Придумайте свой пример последовательности:

а) монотонной;

б) немонотонной;

в) ограниченной снизу;

г) ограниченной.

а) монотонной: Примером монотонной последовательности может служить последовательность натуральных чисел, заданная формулой общего члена $a_n = n$, где $n$ – натуральное число ($n \ge 1$).
Ее первые члены: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Эта последовательность является монотонной, так как каждый следующий ее член строго больше предыдущего: для любого $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} = n+1 > n = a_n$. Следовательно, это строго возрастающая последовательность.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = n$.

б) немонотонной: Примером немонотонной последовательности является знакочередующаяся последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$.
Ее первые члены: -1, 1, -1, 1, -1, ...
Эта последовательность не является монотонной, так как она не является ни возрастающей, ни убывающей. Например, $a_2 > a_1$ (так как $1 > -1$), но $a_3 < a_2$ (так как $-1 < 1$).
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$.

в) ограниченной снизу: Примером последовательности, ограниченной снизу, но не ограниченной сверху, является последовательность квадратов натуральных чисел: $a_n = n^2$.
Ее первые члены: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Эта последовательность ограничена снизу, поскольку для любого натурального $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n = n^2 \ge 1$. Число 1 (или любое число меньше 1, например 0) является ее нижней границей. При этом последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = n^2$.

г) ограниченной: Примером ограниченной последовательности (то есть ограниченной и снизу, и сверху) является последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$.
Ее первые члены: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ...
Эта последовательность ограничена. С одной стороны, все ее члены положительны, то есть $a_n > 0$, значит, она ограничена снизу числом 0. С другой стороны, наибольшим членом является первый, $a_1 = 1$, а все остальные члены меньше 1. Таким образом, для всех $n$ выполняется двойное неравенство $0 < a_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена.
Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$.