Номер 430, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

430. Последовательность задана формулой n-го члена:

a) $a_n = (-2)^n;$

б) $b_n = 2 \cdot (-1)^n;$

в) $c_n = n \cdot (-1)^n;$

г) $u_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n;$

д) $x_n = 2 + (-1)^n;$

е) $y_n = (-1)^n.$

Покажите, что она не является монотонной. Какие из приведённых последовательностей являются ограниченными?

Для решения задачи необходимо для каждой последовательности проверить два свойства: монотонность и ограниченность.

• Последовательность является монотонной, если она является возрастающей (каждый следующий член больше предыдущего), убывающей (каждый следующий член меньше предыдущего), неубывающей (каждый следующий член не меньше предыдущего) или невозрастающей (каждый следующий член не больше предыдущего). Чтобы доказать, что последовательность не является монотонной, достаточно найти три последовательных члена $x_n, x_{n+1}, x_{n+2}$, для которых нарушается порядок, например, $x_n < x_{n+1}$ и $x_{n+1} > x_{n+2}$.
• Последовательность является ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что все члены последовательности по модулю не превосходят $M$, то есть $|x_n| \le M$ для всех $n$. Это равносильно тому, что последовательность ограничена и сверху, и снизу.

а) Для последовательности $a_n = (-2)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов последовательности: $a_1 = (-2)^1 = -2$, $a_2 = (-2)^2 = 4$, $a_3 = (-2)^3 = -8$.
Так как $a_1 < a_2$ (поскольку $-2 < 4$) и $a_2 > a_3$ (поскольку $4 > -8$), то последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. Следовательно, она не монотонна.
Ограниченность: Рассмотрим модуль члена последовательности: $|a_n| = |(-2)^n| = 2^n$. При увеличении $n$ значение $2^n$ неограниченно возрастает ($2^n \to \infty$ при $n \to \infty$). Это означает, что последовательность не ограничена ни сверху (члены с четными номерами $a_{2k} = 4^k$ стремятся к $+\infty$), ни снизу (члены с нечетными номерами $a_{2k-1} = -2 \cdot 4^{k-1}$ стремятся к $-\infty$).
Ответ: последовательность не является монотонной и не является ограниченной.

б) Для последовательности $b_n = 2 \cdot (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $b_1 = 2 \cdot (-1)^1 = -2$, $b_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2$, $b_3 = 2 \cdot (-1)^3 = -2$.
Так как $b_1 < b_2$ ($-2 < 2$) и $b_2 > b_3$ ($2 > -2$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Члены последовательности могут принимать только два значения: $-2$ (для нечетных $n$) и $2$ (для четных $n$). Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $-2 \le b_n \le 2$. Таким образом, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

в) Для последовательности $c_n = n \cdot (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $c_1 = 1 \cdot (-1)^1 = -1$, $c_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2$, $c_3 = 3 \cdot (-1)^3 = -3$.
Так как $c_1 < c_2$ ($-1 < 2$) и $c_2 > c_3$ ($2 > -3$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Модуль члена последовательности $|c_n| = |n \cdot (-1)^n| = n$. При $n \to \infty$, значение $n$ неограниченно возрастает. Следовательно, последовательность не является ограниченной.
Ответ: последовательность не является монотонной и не является ограниченной.

г) Для последовательности $u_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $u_1 = -\frac{1}{2}$, $u_2 = \frac{1}{4}$, $u_3 = -\frac{1}{8}$.
Так как $u_1 < u_2$ ($-\frac{1}{2} < \frac{1}{4}$) и $u_2 > u_3$ ($\frac{1}{4} > -\frac{1}{8}$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Модуль члена последовательности $|u_n| = \left|\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Максимальное значение модуля достигается при $n=1$: $|u_1| = \frac{1}{2}$. Для всех $n \ge 1$ выполняется $|u_n| \le \frac{1}{2}$. Это означает, что $-\frac{1}{2} \le u_n \le \frac{1}{2}$, то есть последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

д) Для последовательности $x_n = 2 + (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $x_1 = 2 + (-1) = 1$, $x_2 = 2 + 1 = 3$, $x_3 = 2 + (-1) = 1$.
Так как $x_1 < x_2$ ($1 < 3$) и $x_2 > x_3$ ($3 > 1$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Члены последовательности могут принимать только два значения: $1$ (для нечетных $n$) и $3$ (для четных $n$). Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $1 \le x_n \le 3$. Таким образом, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

е) Для последовательности $y_n = (-1)^n$.
Монотонность: Найдем первые несколько членов: $y_1 = -1$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$.
Так как $y_1 < y_2$ ($-1 < 1$) и $y_2 > y_3$ ($1 > -1$), последовательность не является монотонной.
Ограниченность: Члены последовательности могут принимать только два значения: $-1$ и $1$. Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $-1 \le y_n \le 1$. Таким образом, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность не является монотонной, но является ограниченной.

Итоговый вывод:
Все представленные последовательности не являются монотонными из-за наличия множителя вида $(-r)^n$ (где $r>0$), который вызывает знакочередование или колебание значений.
Ограниченными являются последовательности, члены которых по модулю не возрастают неограниченно. В данном случае это последовательности: б), г), д), е).