Номер 433, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

433. Доказываем. Докажите, что последовательность десятичных приближений числа $\pi$ с недостатком 3; 3,1; 3,14; 3,141; ... является ограниченной.

Доказываем.

Рассмотрим последовательность $(a_n)$, члены которой являются десятичными приближениями числа $\pi$ с недостатком: $a_1=3$, $a_2=3,1$, $a_3=3,14$, $a_4=3,141$ и так далее.

Последовательность называется ограниченной, если существуют числа $m$ и $M$ (нижняя и верхняя границы), такие, что для любого члена последовательности $a_n$ выполняется неравенство $m \le a_n \le M$.

С одной стороны, каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем добавления очередной цифры после запятой, что соответствует добавлению неотрицательного числа. То есть, $a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots$. Это означает, что последовательность является неубывающей. Следовательно, все ее члены не меньше первого члена: $a_n \ge a_1 = 3$. Таким образом, последовательность ограничена снизу числом 3.

С другой стороны, по определению десятичного приближения с недостатком, каждый член последовательности $a_n$ не превышает само число $\pi$. То есть, для любого $n$ справедливо неравенство $a_n \le \pi$. Поскольку число $\pi$ меньше 4 (так как $\pi \approx 3,14159...$), мы можем утверждать, что $a_n < 4$ для любого $n$. Таким образом, последовательность ограничена сверху числом 4.

Итак, для всех членов последовательности $(a_n)$ выполняется двойное неравенство $3 \le a_n < 4$. Поскольку мы нашли числа $m=3$ и $M=4$, которые ограничивают все члены последовательности снизу и сверху, данная последовательность является ограниченной.

Ответ: Последовательность десятичных приближений числа $\pi$ с недостатком является ограниченной, так как все ее члены $a_n$ удовлетворяют неравенству $3 \le a_n < 4$.