Номер 428, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (428–429).

428. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = 7n - 11;$

б) $b_n = 6^n;$

в) $c_n = -3 + (1,2)^n;$

г) $a_n = 2 + 3n;$

д) $b_n = 3 \cdot 2^n;$

е) $c_n = -3 \cdot (0,2)^n$.

Докажите, что последовательность является возрастающей и ограниченной снизу.

а) Для последовательности $a_n = 7n - 11$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $a_{n+1} - a_n$:$a_{n+1} - a_n = (7(n+1) - 11) - (7n - 11) = 7n + 7 - 11 - 7n + 11 = 7$.Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = 7$ является положительным числом, то $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$, и последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1$.$a_1 = 7(1) - 11 = -4$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $a_n \ge a_1$, то есть $a_n \ge -4$.
Ответ: Последовательность $a_n = 7n - 11$ является возрастающей, так как $a_{n+1} - a_n = 7 > 0$, и ограниченной снизу, так как $a_n \ge -4$.

б) Для последовательности $b_n = 6^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Все члены последовательности $b_n = 6^n$ при $n \ge 1$ положительны. Для доказательства возрастания рассмотрим отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:$b_{n+1} / b_n = 6^{n+1} / 6^n = 6$.Так как отношение $b_{n+1} / b_n = 6 > 1$, то $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$, и последовательность является возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $b_1$.$b_1 = 6^1 = 6$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \ge 6$.
Ответ: Последовательность $b_n = 6^n$ является возрастающей, так как $b_{n+1} / b_n = 6 > 1$, и ограниченной снизу, так как $b_n \ge 6$.

в) Для последовательности $c_n = -3 + (1.2)^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $c_{n+1} - c_n$:$c_{n+1} - c_n = (-3 + (1.2)^{n+1}) - (-3 + (1.2)^n) = (1.2)^{n+1} - (1.2)^n = (1.2)^n(1.2 - 1) = 0.2 \cdot (1.2)^n$.Поскольку $n$ - натуральное число, $(1.2)^n > 0$, следовательно, и произведение $0.2 \cdot (1.2)^n > 0$. Значит, $c_{n+1} > c_n$, и последовательность возрастает.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $c_1$.$c_1 = -3 + (1.2)^1 = -3 + 1.2 = -1.8$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \ge -1.8$.
Ответ: Последовательность $c_n = -3 + (1.2)^n$ является возрастающей, так как $c_{n+1} - c_n > 0$, и ограниченной снизу, так как $c_n \ge -1.8$.

г) Для последовательности $a_n = 2 + 3n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $a_{n+1} - a_n$:$a_{n+1} - a_n = (2 + 3(n+1)) - (2 + 3n) = 2 + 3n + 3 - 2 - 3n = 3$.Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = 3$ положительна, то $a_{n+1} > a_n$ для любого $n$, и последовательность является возрастающей.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $a_1$.$a_1 = 2 + 3(1) = 5$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $a_n \ge 5$.
Ответ: Последовательность $a_n = 2 + 3n$ является возрастающей, так как $a_{n+1} - a_n = 3 > 0$, и ограниченной снизу, так как $a_n \ge 5$.

д) Для последовательности $b_n = 3 \cdot 2^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Все члены последовательности при $n \ge 1$ положительны. Рассмотрим их отношение:$b_{n+1} / b_n = (3 \cdot 2^{n+1}) / (3 \cdot 2^n) = 2^{n+1} / 2^n = 2$.Так как отношение $b_{n+1} / b_n = 2 > 1$, то $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$, и последовательность является возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $b_1$.$b_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $b_n \ge 6$.
Ответ: Последовательность $b_n = 3 \cdot 2^n$ является возрастающей, так как $b_{n+1} / b_n = 2 > 1$, и ограниченной снизу, так как $b_n \ge 6$.

е) Для последовательности $c_n = -3 \cdot (0.2)^n$ докажем, что она является возрастающей и ограниченной снизу.
Для доказательства возрастания найдем разность $c_{n+1} - c_n$:$c_{n+1} - c_n = (-3 \cdot (0.2)^{n+1}) - (-3 \cdot (0.2)^n) = 3 \cdot ((0.2)^n - (0.2)^{n+1}) = 3 \cdot (0.2)^n(1 - 0.2) = 3 \cdot (0.2)^n \cdot 0.8 = 2.4 \cdot (0.2)^n$.Поскольку $n \ge 1$, то $(0.2)^n > 0$, следовательно, и произведение $2.4 \cdot (0.2)^n > 0$. Значит, $c_{n+1} > c_n$, и последовательность возрастает.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $c_1$.$c_1 = -3 \cdot (0.2)^1 = -0.6$.Следовательно, для любого $n \ge 1$ выполняется $c_n \ge -0.6$.
Ответ: Последовательность $c_n = -3 \cdot (0.2)^n$ является возрастающей, так как $c_{n+1} - c_n > 0$, и ограниченной снизу, так как $c_n \ge -0.6$.