Номер 435, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (435–436).

435. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = \frac{n-1}{n}$; б) $b_n = \frac{2n+3}{2n+5}$; в) $x_n = \frac{3n+5}{4n+7}$; г) $y_n = \frac{4n-3}{2n-1}$.

Докажите, что последовательность является возрастающей и ограниченной.

а) $a_n = \frac{n-1}{n}$

1. Доказательство возрастания.
Чтобы доказать, что последовательность является возрастающей, нужно показать, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n \ge 1$. Для этого рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$.

$a_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} = \frac{n \cdot n - (n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - (n^2 - 1^2)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n > 0$ и $n+1 > 0$. Следовательно, их произведение $n(n+1) > 0$. Таким образом, разность $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ всегда положительна. Из $a_{n+1} - a_n > 0$ следует, что $a_{n+1} > a_n$, значит, последовательность является возрастающей.

2. Доказательство ограниченности.
Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что $m \le a_n \le M$ для всех $n$. Поскольку последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом. Найдем $a_1$: $a_1 = \frac{1-1}{1} = 0$. Следовательно, $a_n \ge 0$ для всех $n \ge 1$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу $n$-го члена: $a_n = \frac{n-1}{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, дробь $\frac{1}{n}$ является положительной. Значит, из 1 вычитается положительное число, и $a_n < 1$. Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется двойное неравенство $0 \le a_n < 1$. Это означает, что последовательность ограничена.

Ответ: Доказано, что последовательность $a_n$ является возрастающей и ограниченной.

б) $b_n = \frac{2n+3}{2n+5}$

1. Доказательство возрастания.
Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$.

$b_{n+1} = \frac{2(n+1)+3}{2(n+1)+5} = \frac{2n+2+3}{2n+2+5} = \frac{2n+5}{2n+7}$

$b_{n+1} - b_n = \frac{2n+5}{2n+7} - \frac{2n+3}{2n+5} = \frac{(2n+5)^2 - (2n+3)(2n+7)}{(2n+7)(2n+5)}$

Вычислим числитель: $(2n+5)^2 - (2n+3)(2n+7) = (4n^2+20n+25) - (4n^2+14n+6n+21) = (4n^2+20n+25) - (4n^2+20n+21) = 4$.

Знаменатель $(2n+7)(2n+5)$ положителен для всех натуральных $n$. Следовательно, $b_{n+1} - b_n = \frac{4}{(2n+7)(2n+5)} > 0$. Значит, последовательность $b_n$ возрастающая.

2. Доказательство ограниченности.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $b_1$: $b_1 = \frac{2(1)+3}{2(1)+5} = \frac{5}{7}$. Значит, $b_n \ge \frac{5}{7}$ для всех $n \ge 1$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу: $b_n = \frac{2n+3}{2n+5} = \frac{2n+5-2}{2n+5} = 1 - \frac{2}{2n+5}$. Так как $n \ge 1$, то $2n+5 > 0$, и $\frac{2}{2n+5} > 0$. Следовательно, $b_n < 1$. Таким образом, $\frac{5}{7} \le b_n < 1$, что доказывает ограниченность последовательности.

Ответ: Доказано, что последовательность $b_n$ является возрастающей и ограниченной.

в) $x_n = \frac{3n+5}{4n+7}$

1. Доказательство возрастания.
Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$.

$x_{n+1} = \frac{3(n+1)+5}{4(n+1)+7} = \frac{3n+3+5}{4n+4+7} = \frac{3n+8}{4n+11}$

$x_{n+1} - x_n = \frac{3n+8}{4n+11} - \frac{3n+5}{4n+7} = \frac{(3n+8)(4n+7) - (3n+5)(4n+11)}{(4n+11)(4n+7)}$

Вычислим числитель: $(3n+8)(4n+7) - (3n+5)(4n+11) = (12n^2+21n+32n+56) - (12n^2+33n+20n+55) = (12n^2+53n+56) - (12n^2+53n+55) = 1$.

Знаменатель $(4n+11)(4n+7)$ положителен для всех натуральных $n$. Следовательно, $x_{n+1} - x_n = \frac{1}{(4n+11)(4n+7)} > 0$. Значит, последовательность $x_n$ возрастающая.

2. Доказательство ограниченности.
Последовательность ограничена снизу своим первым членом $x_1$: $x_1 = \frac{3(1)+5}{4(1)+7} = \frac{8}{11}$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу, выделив целую часть: $x_n = \frac{3n+5}{4n+7} = \frac{\frac{3}{4}(4n+7) - \frac{21}{4} + 5}{4n+7} = \frac{\frac{3}{4}(4n+7) - \frac{1}{4}}{4n+7} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4(4n+7)}$. Так как $n \ge 1$, выражение $\frac{1}{4(4n+7)}$ положительно. Следовательно, $x_n < \frac{3}{4}$. Таким образом, $\frac{8}{11} \le x_n < \frac{3}{4}$, что доказывает ограниченность последовательности.

Ответ: Доказано, что последовательность $x_n$ является возрастающей и ограниченной.

г) $y_n = \frac{4n-3}{2n-1}$

1. Доказательство возрастания.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$. (Знаменатель $2n-1 \neq 0$ для любого натурального $n$).

$y_{n+1} = \frac{4(n+1)-3}{2(n+1)-1} = \frac{4n+4-3}{2n+2-1} = \frac{4n+1}{2n+1}$

$y_{n+1} - y_n = \frac{4n+1}{2n+1} - \frac{4n-3}{2n-1} = \frac{(4n+1)(2n-1) - (4n-3)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}$

Вычислим числитель: $(4n+1)(2n-1) - (4n-3)(2n+1) = (8n^2-4n+2n-1) - (8n^2+4n-6n-3) = (8n^2-2n-1) - (8n^2-2n-3) = 2$.

Знаменатель $(2n+1)(2n-1) = 4n^2-1$ положителен для всех натуральных $n \ge 1$. Следовательно, $y_{n+1} - y_n = \frac{2}{4n^2-1} > 0$. Значит, последовательность $y_n$ возрастающая.

2. Доказательство ограниченности.
Последовательность ограничена снизу своим первым членом $y_1$: $y_1 = \frac{4(1)-3}{2(1)-1} = \frac{1}{1} = 1$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу: $y_n = \frac{4n-3}{2n-1} = \frac{2(2n-1) - 1}{2n-1} = 2 - \frac{1}{2n-1}$. Так как $n \ge 1$, $2n-1 \ge 1$, и $\frac{1}{2n-1} > 0$. Следовательно, $y_n < 2$. Таким образом, $1 \le y_n < 2$, что доказывает ограниченность последовательности.

Ответ: Доказано, что последовательность $y_n$ является возрастающей и ограниченной.