Страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

434. Задайте формулой последовательность:

а) $2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, \dots$;

б) $2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, \dots$;

в) $0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, \dots$;

г) $1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, \dots$.

а) Последовательность $a_n$: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ....

В этой последовательности каждое натуральное число, начиная с 2, повторяется дважды. Значение члена последовательности, $a_n$, увеличивается на 1 через каждые два номера $n$. Это говорит о том, что формула должна быть связана с делением $n$ на 2.

Рассмотрим, как меняется целая часть от деления номера $n$ на 2. В математике для этого используется функция "пол" или "антье", обозначаемая как $\lfloor x \rfloor$.

Рассмотрим выражение $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$.

• При $n=1$, $\lfloor \frac{1-1}{2} \rfloor = \lfloor 0 \rfloor = 0$.
• При $n=2$, $\lfloor \frac{2-1}{2} \rfloor = \lfloor 0.5 \rfloor = 0$.
• При $n=3$, $\lfloor \frac{3-1}{2} \rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$.
• При $n=4$, $\lfloor \frac{4-1}{2} \rfloor = \lfloor 1.5 \rfloor = 1$.
• При $n=5$, $\lfloor \frac{5-1}{2} \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = 2$.

Мы получили последовательность 0, 0, 1, 1, 2, 2, .... Сравнивая ее с исходной последовательностью 2, 2, 3, 3, 4, 4, ..., мы видим, что каждый член нашей последовательности на 2 меньше соответствующего члена исходной. Следовательно, чтобы получить искомую формулу, нужно прибавить 2.

Формула n-го члена последовательности: $a_n = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor + 2$.

Проверим ее: $a_1 = \lfloor \frac{1-1}{2} \rfloor + 2 = 0 + 2 = 2$. $a_2 = \lfloor \frac{2-1}{2} \rfloor + 2 = 0 + 2 = 2$. $a_3 = \lfloor \frac{3-1}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$. $a_4 = \lfloor \frac{4-1}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$.

Формула верна.

Ответ: $a_n = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor + 2$.

б) Последовательность $b_n$: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ....

Эта последовательность очень похожа на предыдущую. За исключением первого члена, каждое натуральное число, начиная с 3, повторяется дважды. Значение члена последовательности также увеличивается на 1, но сдвинуто по сравнению с пунктом а).

Рассмотрим выражение $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$.

• При $n=1$, $\lfloor \frac{1}{2} \rfloor = 0$.
• При $n=2$, $\lfloor \frac{2}{2} \rfloor = 1$.
• При $n=3$, $\lfloor \frac{3}{2} \rfloor = 1$.
• При $n=4$, $\lfloor \frac{4}{2} \rfloor = 2$.
• При $n=5$, $\lfloor \frac{5}{2} \rfloor = 2$.

Мы получили последовательность 0, 1, 1, 2, 2, .... Сравнивая ее с исходной 2, 3, 3, 4, 4, ..., мы видим, что каждый член нашей последовательности на 2 меньше. Значит, и здесь нужно прибавить 2.

Формула n-го члена последовательности: $b_n = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 2$.

Проверим ее: $b_1 = \lfloor \frac{1}{2} \rfloor + 2 = 0 + 2 = 2$. $b_2 = \lfloor \frac{2}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$. $b_3 = \lfloor \frac{3}{2} \rfloor + 2 = 1 + 2 = 3$. $b_4 = \lfloor \frac{4}{2} \rfloor + 2 = 2 + 2 = 4$.

Формула верна.

Ответ: $b_n = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 2$.

в) Последовательность $c_n$: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, ....

В этой последовательности число 0 повторяется 3 раза, а каждое следующее натуральное число $k \ge 1$ повторяется 4 раза.

Проанализируем, при каких номерах $n$ меняется значение члена последовательности:

• $c_n = 0$ для $n=1, 2, 3$.
• $c_n = 1$ для $n=4, 5, 6, 7$.
• $c_n = 2$ для $n=8, 9, 10, 11$.
• $c_n = k$ для $n$ от $4k$ до $4k+3$? Нет, это неверно.

Значение меняется с 0 на 1 при $n=4$. Значение меняется с 1 на 2 при $n=8$. Значение меняется с 2 на 3 при $n=12$. В общем, значение меняется с $k-1$ на $k$ (для $k \ge 1$) при $n=4k$. Это наблюдение указывает на связь с делением $n$ на 4.

Рассмотрим формулу $c_n = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$.

• Для $n=1, 2, 3$, $\lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ равно 0.
• Для $n=4, 5, 6, 7$, $\lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ равно 1.
• Для $n=8, 9, 10, 11$, $\lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ равно 2.

Эта формула дает последовательность $0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, ...$, что не соответствует исходной. Давайте внимательнее посмотрим на исходную последовательность.

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, ...

Кажется, моя предыдущая интерпретация была неверна. Число 0 повторяется 3 раза, а каждое целое число $k \ge 1$ повторяется 4 раза. Первый член, равный 1, имеет номер 4. Первый член, равный 2, имеет номер $3+4+1 = 8$. Первый член, равный 3, имеет номер $3+4+4+1=12$. Первый член, равный $k \ge 1$, имеет номер $3+4(k-1)+1 = 4k$. Значит, $c_n=k$ для $n$ в диапазоне $[4k, 4(k+1)-1-3] = [4k, 4k+3-3] = [4k, 4k]$. Нет, это не так. $c_n=k$ для $n$ в диапазоне от $4k$ до $4k+3$. Это верно для $k \ge 1$. Таким образом, для $n \ge 4$, $k = \lfloor n/4 \rfloor$. Проверим, что эта формула дает для $n=1, 2, 3$: $c_1 = \lfloor 1/4 \rfloor = 0$. $c_2 = \lfloor 2/4 \rfloor = 0$. $c_3 = \lfloor 3/4 \rfloor = 0$. Это совпадает с исходной последовательностью. Таким образом, формула $c_n = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$ верна для всех $n \ge 1$.

Ответ: $c_n = \lfloor \frac{n}{4} \rfloor$.

г) Последовательность $d_n$: 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ....

Эта последовательность является периодической. Блок чисел (1, 2, 0) повторяется бесконечно. Период последовательности равен 3.

Периодичность наводит на мысль об использовании операции взятия остатка от деления. Рассмотрим остатки от деления номера члена последовательности $n$ на 3.

• При $n=1$, остаток от деления на 3 равен 1. Член последовательности $d_1=1$.
• При $n=2$, остаток от деления на 3 равен 2. Член последовательности $d_2=2$.
• При $n=3$, остаток от деления на 3 равен 0. Член последовательности $d_3=0$.
• При $n=4$, остаток от деления на 3 равен 1. Член последовательности $d_4=1$.
• При $n=5$, остаток от деления на 3 равен 2. Член последовательности $d_5=2$.
• При $n=6$, остаток от деления на 3 равен 0. Член последовательности $d_6=0$.

Видно, что n-й член последовательности в точности равен остатку от деления $n$ на 3.

Математически остаток от деления $n$ на $m$ (для натуральных $n$ и $m$) можно записать с помощью функции "пол": $n \pmod m = n - m \lfloor \frac{n}{m} \rfloor$.

В нашем случае $m=3$, поэтому формула n-го члена имеет вид: $d_n = n - 3 \lfloor \frac{n}{3} \rfloor$.

Проверим ее: $d_1 = 1 - 3 \lfloor \frac{1}{3} \rfloor = 1 - 3 \cdot 0 = 1$. $d_2 = 2 - 3 \lfloor \frac{2}{3} \rfloor = 2 - 3 \cdot 0 = 2$. $d_3 = 3 - 3 \lfloor \frac{3}{3} \rfloor = 3 - 3 \cdot 1 = 0$.

Формула верна.

Ответ: $d_n = n - 3 \lfloor \frac{n}{3} \rfloor$.

Доказываем (435–436).

435. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = \frac{n-1}{n}$; б) $b_n = \frac{2n+3}{2n+5}$; в) $x_n = \frac{3n+5}{4n+7}$; г) $y_n = \frac{4n-3}{2n-1}$.

Докажите, что последовательность является возрастающей и ограниченной.

а) $a_n = \frac{n-1}{n}$

1. Доказательство возрастания.
Чтобы доказать, что последовательность является возрастающей, нужно показать, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n \ge 1$. Для этого рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$.

$a_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} = \frac{n \cdot n - (n-1)(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - (n^2 - 1^2)}{n(n+1)} = \frac{n^2 - n^2 + 1}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n > 0$ и $n+1 > 0$. Следовательно, их произведение $n(n+1) > 0$. Таким образом, разность $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ всегда положительна. Из $a_{n+1} - a_n > 0$ следует, что $a_{n+1} > a_n$, значит, последовательность является возрастающей.

2. Доказательство ограниченности.
Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что $m \le a_n \le M$ для всех $n$. Поскольку последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом. Найдем $a_1$: $a_1 = \frac{1-1}{1} = 0$. Следовательно, $a_n \ge 0$ для всех $n \ge 1$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу $n$-го члена: $a_n = \frac{n-1}{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, дробь $\frac{1}{n}$ является положительной. Значит, из 1 вычитается положительное число, и $a_n < 1$. Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется двойное неравенство $0 \le a_n < 1$. Это означает, что последовательность ограничена.

Ответ: Доказано, что последовательность $a_n$ является возрастающей и ограниченной.

б) $b_n = \frac{2n+3}{2n+5}$

1. Доказательство возрастания.
Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$.

$b_{n+1} = \frac{2(n+1)+3}{2(n+1)+5} = \frac{2n+2+3}{2n+2+5} = \frac{2n+5}{2n+7}$

$b_{n+1} - b_n = \frac{2n+5}{2n+7} - \frac{2n+3}{2n+5} = \frac{(2n+5)^2 - (2n+3)(2n+7)}{(2n+7)(2n+5)}$

Вычислим числитель: $(2n+5)^2 - (2n+3)(2n+7) = (4n^2+20n+25) - (4n^2+14n+6n+21) = (4n^2+20n+25) - (4n^2+20n+21) = 4$.

Знаменатель $(2n+7)(2n+5)$ положителен для всех натуральных $n$. Следовательно, $b_{n+1} - b_n = \frac{4}{(2n+7)(2n+5)} > 0$. Значит, последовательность $b_n$ возрастающая.

2. Доказательство ограниченности.
Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом $b_1$: $b_1 = \frac{2(1)+3}{2(1)+5} = \frac{5}{7}$. Значит, $b_n \ge \frac{5}{7}$ для всех $n \ge 1$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу: $b_n = \frac{2n+3}{2n+5} = \frac{2n+5-2}{2n+5} = 1 - \frac{2}{2n+5}$. Так как $n \ge 1$, то $2n+5 > 0$, и $\frac{2}{2n+5} > 0$. Следовательно, $b_n < 1$. Таким образом, $\frac{5}{7} \le b_n < 1$, что доказывает ограниченность последовательности.

Ответ: Доказано, что последовательность $b_n$ является возрастающей и ограниченной.

в) $x_n = \frac{3n+5}{4n+7}$

1. Доказательство возрастания.
Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$.

$x_{n+1} = \frac{3(n+1)+5}{4(n+1)+7} = \frac{3n+3+5}{4n+4+7} = \frac{3n+8}{4n+11}$

$x_{n+1} - x_n = \frac{3n+8}{4n+11} - \frac{3n+5}{4n+7} = \frac{(3n+8)(4n+7) - (3n+5)(4n+11)}{(4n+11)(4n+7)}$

Вычислим числитель: $(3n+8)(4n+7) - (3n+5)(4n+11) = (12n^2+21n+32n+56) - (12n^2+33n+20n+55) = (12n^2+53n+56) - (12n^2+53n+55) = 1$.

Знаменатель $(4n+11)(4n+7)$ положителен для всех натуральных $n$. Следовательно, $x_{n+1} - x_n = \frac{1}{(4n+11)(4n+7)} > 0$. Значит, последовательность $x_n$ возрастающая.

2. Доказательство ограниченности.
Последовательность ограничена снизу своим первым членом $x_1$: $x_1 = \frac{3(1)+5}{4(1)+7} = \frac{8}{11}$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу, выделив целую часть: $x_n = \frac{3n+5}{4n+7} = \frac{\frac{3}{4}(4n+7) - \frac{21}{4} + 5}{4n+7} = \frac{\frac{3}{4}(4n+7) - \frac{1}{4}}{4n+7} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4(4n+7)}$. Так как $n \ge 1$, выражение $\frac{1}{4(4n+7)}$ положительно. Следовательно, $x_n < \frac{3}{4}$. Таким образом, $\frac{8}{11} \le x_n < \frac{3}{4}$, что доказывает ограниченность последовательности.

Ответ: Доказано, что последовательность $x_n$ является возрастающей и ограниченной.

г) $y_n = \frac{4n-3}{2n-1}$

1. Доказательство возрастания.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$. (Знаменатель $2n-1 \neq 0$ для любого натурального $n$).

$y_{n+1} = \frac{4(n+1)-3}{2(n+1)-1} = \frac{4n+4-3}{2n+2-1} = \frac{4n+1}{2n+1}$

$y_{n+1} - y_n = \frac{4n+1}{2n+1} - \frac{4n-3}{2n-1} = \frac{(4n+1)(2n-1) - (4n-3)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}$

Вычислим числитель: $(4n+1)(2n-1) - (4n-3)(2n+1) = (8n^2-4n+2n-1) - (8n^2+4n-6n-3) = (8n^2-2n-1) - (8n^2-2n-3) = 2$.

Знаменатель $(2n+1)(2n-1) = 4n^2-1$ положителен для всех натуральных $n \ge 1$. Следовательно, $y_{n+1} - y_n = \frac{2}{4n^2-1} > 0$. Значит, последовательность $y_n$ возрастающая.

2. Доказательство ограниченности.
Последовательность ограничена снизу своим первым членом $y_1$: $y_1 = \frac{4(1)-3}{2(1)-1} = \frac{1}{1} = 1$.

Для нахождения верхней границы преобразуем формулу: $y_n = \frac{4n-3}{2n-1} = \frac{2(2n-1) - 1}{2n-1} = 2 - \frac{1}{2n-1}$. Так как $n \ge 1$, $2n-1 \ge 1$, и $\frac{1}{2n-1} > 0$. Следовательно, $y_n < 2$. Таким образом, $1 \le y_n < 2$, что доказывает ограниченность последовательности.

Ответ: Доказано, что последовательность $y_n$ является возрастающей и ограниченной.

436. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = \frac{n+1}{n}$;

б) $b_n = \frac{2n+5}{2n+3}$;

в) $x_n = \frac{3n+4}{4n+1}$;

г) $y_n = \frac{4n-1}{3n-2}$.

Докажите, что последовательность является убывающей и ограниченной.

а) $a_n = \frac{n+1}{n}$

Чтобы доказать, что последовательность является убывающей, необходимо показать, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} < a_n$.

Представим $n$-й член последовательности в ином виде: $a_n = \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$. Соответственно, $(n+1)$-й член последовательности будет равен: $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$.

Сравним $a_n$ и $a_{n+1}$. Для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$. Так как обе части положительны, для обратных величин будет верно неравенство противоположного знака: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Прибавив к обеим частям этого неравенства единицу, получим $1 + \frac{1}{n+1} < 1 + \frac{1}{n}$, что по определению означает $a_{n+1} < a_n$. Это доказывает, что последовательность $\{a_n\}$ является убывающей.

Теперь докажем, что последовательность ограничена. Это означает, что все её члены находятся в некотором числовом промежутке.

Поскольку последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом: $a_1 = \frac{1+1}{1} = 2$. Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется $a_n \le 2$.

Для нахождения нижней границы рассмотрим выражение $a_n = 1 + \frac{1}{n}$. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и дробь $\frac{1}{n}$ всегда положительна, то есть $\frac{1}{n} > 0$. Следовательно, $a_n = 1 + \frac{1}{n} > 1$.

Мы показали, что для любого члена последовательности выполняется двойное неравенство $1 < a_n \le 2$. Это означает, что последовательность является ограниченной.

Ответ: Доказано, что последовательность является убывающей и ограниченной.

б) $b_n = \frac{2n+5}{2n+3}$

Докажем, что последовательность является убывающей, то есть $b_{n+1} < b_n$ для любого натурального $n$.

Преобразуем формулу $n$-го члена, выделив целую часть: $b_n = \frac{2n+3+2}{2n+3} = \frac{2n+3}{2n+3} + \frac{2}{2n+3} = 1 + \frac{2}{2n+3}$. Тогда $(n+1)$-й член последовательности равен: $b_{n+1} = 1 + \frac{2}{2(n+1)+3} = 1 + \frac{2}{2n+5}$.

Сравним $b_n$ и $b_{n+1}$. Для натуральных $n$ верно $2n+5 > 2n+3$. Так как обе части положительны, то для обратных величин верно $\frac{1}{2n+5} < \frac{1}{2n+3}$. Умножим обе части на 2: $\frac{2}{2n+5} < \frac{2}{2n+3}$. Прибавив 1 к обеим частям, получим $1 + \frac{2}{2n+5} < 1 + \frac{2}{2n+3}$, что означает $b_{n+1} < b_n$. Следовательно, последовательность $\{b_n\}$ является убывающей.

Теперь докажем, что последовательность ограничена.

Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом: $b_1 = \frac{2(1)+5}{2(1)+3} = \frac{7}{5}$. Значит, $b_n \le \frac{7}{5}$ для любого $n \ge 1$.

Для нахождения нижней границы рассмотрим выражение $b_n = 1 + \frac{2}{2n+3}$. Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $2n+3$ положителен, значит и дробь $\frac{2}{2n+3}$ положительна. Отсюда следует, что $b_n > 1$.

Таким образом, для любого члена последовательности выполняется неравенство $1 < b_n \le \frac{7}{5}$, что доказывает её ограниченность.

Ответ: Доказано, что последовательность является убывающей и ограниченной.

в) $x_n = \frac{3n+4}{4n+1}$

Докажем, что последовательность убывающая. Для этого рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$ и покажем, что она отрицательна.

Выражение для $(n+1)$-го члена: $x_{n+1} = \frac{3(n+1)+4}{4(n+1)+1} = \frac{3n+7}{4n+5}$. Найдем разность: $x_{n+1} - x_n = \frac{3n+7}{4n+5} - \frac{3n+4}{4n+1} = \frac{(3n+7)(4n+1) - (3n+4)(4n+5)}{(4n+5)(4n+1)}$.

Раскроем скобки в числителе: $(3n+7)(4n+1) = 12n^2 + 3n + 28n + 7 = 12n^2 + 31n + 7$. $(3n+4)(4n+5) = 12n^2 + 15n + 16n + 20 = 12n^2 + 31n + 20$. Числитель равен $(12n^2 + 31n + 7) - (12n^2 + 31n + 20) = 7 - 20 = -13$.

Знаменатель $(4n+5)(4n+1)$ положителен для всех натуральных $n$. Таким образом, $x_{n+1} - x_n = \frac{-13}{(4n+5)(4n+1)} < 0$. Это означает, что $x_{n+1} < x_n$, и последовательность является убывающей.

Докажем, что последовательность ограничена.

Верхняя граница (так как последовательность убывающая) — это её первый член: $x_1 = \frac{3(1)+4}{4(1)+1} = \frac{7}{5}$.

Нижней границей является предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{4n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3+4/n}{4+1/n} = \frac{3}{4}$. Докажем, что все члены последовательности больше $\frac{3}{4}$: $\frac{3n+4}{4n+1} > \frac{3}{4}$. Так как $4n+1 > 0$ для $n \ge 1$, умножим обе части на $4(4n+1)$: $4(3n+4) > 3(4n+1) \implies 12n+16 > 12n+3 \implies 16 > 3$. Неравенство верно, значит $x_n > \frac{3}{4}$ для всех $n$.

Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $\frac{3}{4} < x_n \le \frac{7}{5}$, следовательно, она ограничена.

Ответ: Доказано, что последовательность является убывающей и ограниченной.

г) $y_n = \frac{4n-1}{3n-2}$

Докажем, что последовательность убывающая, рассмотрев знак разности $y_{n+1} - y_n$.

Выражение для $(n+1)$-го члена: $y_{n+1} = \frac{4(n+1)-1}{3(n+1)-2} = \frac{4n+3}{3n+1}$. Найдем разность: $y_{n+1} - y_n = \frac{4n+3}{3n+1} - \frac{4n-1}{3n-2} = \frac{(4n+3)(3n-2) - (4n-1)(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)}$.

Раскроем скобки в числителе: $(4n+3)(3n-2) = 12n^2 - 8n + 9n - 6 = 12n^2 + n - 6$. $(4n-1)(3n+1) = 12n^2 + 4n - 3n - 1 = 12n^2 + n - 1$. Числитель равен $(12n^2 + n - 6) - (12n^2 + n - 1) = -6 - (-1) = -5$.

Знаменатель $(3n+1)(3n-2)$ положителен для всех натуральных $n$ (так как $n \ge 1$, то $3n-2 \ge 1$). Следовательно, $y_{n+1} - y_n = \frac{-5}{(3n+1)(3n-2)} < 0$, что доказывает убывание последовательности.

Докажем, что последовательность ограничена.

Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху первым членом: $y_1 = \frac{4(1)-1}{3(1)-2} = \frac{3}{1} = 3$.

Нижней границей является предел последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4n-1}{3n-2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4-1/n}{3-2/n} = \frac{4}{3}$. Докажем, что $y_n > \frac{4}{3}$ для всех $n$: $\frac{4n-1}{3n-2} > \frac{4}{3}$. Умножим обе части на $3(3n-2)$ (это выражение положительно при $n \ge 1$): $3(4n-1) > 4(3n-2) \implies 12n - 3 > 12n - 8 \implies -3 > -8$. Это неравенство верно, значит $y_n > \frac{4}{3}$ для всех $n$.

Все члены последовательности находятся в интервале $\frac{4}{3} < y_n \le 3$, следовательно, она ограничена.

Ответ: Доказано, что последовательность является убывающей и ограниченной.

437. Последовательность задана формулой n-го члена:

a) $a_n = \frac{3n+5}{2n-1}$;

б) $b_n = \frac{2n+1}{3n-5}$;

в) $x_n = \frac{3n-5}{2n-1}$;

г) $y_n = \frac{2n+1}{3n+5}$.

Является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной?

Для определения, является ли последовательность возрастающей или убывающей (монотонной), а также ограниченной, мы исследуем каждую из заданных последовательностей.

Последовательность $u_n$ называется возрастающей, если для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $u_{n+1} > u_n$.

Последовательность $u_n$ называется убывающей, если для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $u_{n+1} < u_n$.

Последовательность $u_n$ называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $m \le u_n \le M$.

Для исследования монотонности удобно рассмотреть соответствующую функцию $f(x)$ и найти ее производную. Если $f'(x) > 0$ на рассматриваемом промежутке, функция (и последовательность) возрастает. Если $f'(x) < 0$, функция (и последовательность) убывает.

а) $a_n = \frac{3n + 5}{2n - 1}$

1. Монотонность.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x + 5}{2x - 1}$ для $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(3x + 5)'(2x - 1) - (3x + 5)(2x - 1)'}{(2x - 1)^2} = \frac{3(2x - 1) - (3x + 5) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{6x - 3 - 6x - 10}{(2x - 1)^2} = \frac{-13}{(2x - 1)^2}$.

Так как знаменатель $(2x - 1)^2$ всегда положителен для $x \ge 1$, а числитель равен -13 (отрицателен), то $f'(x) < 0$ для всех $x \ge 1$. Следовательно, функция является убывающей. Это означает, что последовательность $a_n$ также является убывающей, т.е. $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.

2. Ограниченность.

Так как последовательность убывающая, ее первый член будет наибольшим. Найдем $a_1$:
$a_1 = \frac{3(1) + 5}{2(1) - 1} = \frac{8}{1} = 8$.
Таким образом, последовательность ограничена сверху числом 8 ($a_n \le 8$).

Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ для определения нижней границы:
$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + 5/n}{2 - 1/n} = \frac{3}{2}$.
Поскольку последовательность убывает, она ограничена снизу своим пределом. Все члены последовательности больше $3/2$ ($a_n > \frac{3}{2}$).
Итак, последовательность ограничена и сверху, и снизу ($ \frac{3}{2} < a_n \le 8 $), а значит, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является убывающей и ограниченной.

б) $b_n = \frac{2n + 1}{3n - 5}$

1. Монотонность.

Вычислим первые несколько членов последовательности:
$b_1 = \frac{2(1) + 1}{3(1) - 5} = \frac{3}{-2} = -1.5$
$b_2 = \frac{2(2) + 1}{3(2) - 5} = \frac{5}{1} = 5$
$b_3 = \frac{2(3) + 1}{3(3) - 5} = \frac{7}{4} = 1.75$
Поскольку $b_1 < b_2$ и $b_2 > b_3$, последовательность не является монотонной (ни возрастающей, ни убывающей). Знаменатель $3n-5$ меняет знак между $n=1$ и $n=2$.

2. Ограниченность.

Исследуем поведение последовательности для $n \ge 2$. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 5}$. Ее производная:
$f'(x) = \frac{2(3x - 5) - (2x + 1) \cdot 3}{(3x - 5)^2} = \frac{6x - 10 - 6x - 3}{(3x - 5)^2} = \frac{-13}{(3x - 5)^2}$.
Для $n \ge 2$, знаменатель $(3n-5)^2$ положителен, поэтому производная отрицательна. Значит, для $n \ge 2$ последовательность убывает. Ее наибольшее значение в этом диапазоне — $b_2 = 5$. Так как $b_1 = -1.5$, то 5 является наибольшим значением для всей последовательности. Следовательно, последовательность ограничена сверху ($b_n \le 5$).

Найдем предел последовательности:
$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 1/n}{3 - 5/n} = \frac{2}{3}$.
Для $n \ge 2$ последовательность убывает к $2/3$, значит все ее члены (кроме $b_1$) больше $2/3$. Самый маленький член последовательности — это $b_1 = -1.5$. Таким образом, последовательность ограничена снизу ($b_n \ge -1.5$).
Так как последовательность ограничена и сверху, и снизу ($-1.5 \le b_n \le 5$), она является ограниченной.

Ответ: последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; последовательность является ограниченной.

в) $x_n = \frac{3n - 5}{2n - 1}$

1. Монотонность.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x - 5}{2x - 1}$ для $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(3x - 5)'(2x - 1) - (3x - 5)(2x - 1)'}{(2x - 1)^2} = \frac{3(2x - 1) - (3x - 5) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{6x - 3 - 6x + 10}{(2x - 1)^2} = \frac{7}{(2x - 1)^2}$.

Так как знаменатель $(2x - 1)^2$ всегда положителен для $x \ge 1$, а числитель равен 7 (положителен), то $f'(x) > 0$ для всех $x \ge 1$. Следовательно, функция является возрастающей. Это означает, что последовательность $x_n$ также является возрастающей, т.е. $x_{n+1} > x_n$ для всех $n \ge 1$.

2. Ограниченность.

Так как последовательность возрастающая, ее первый член будет наименьшим. Найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{3(1) - 5}{2(1) - 1} = \frac{-2}{1} = -2$.
Таким образом, последовательность ограничена снизу числом -2 ($x_n \ge -2$).

Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ для определения верхней границы:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 5}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 5/n}{2 - 1/n} = \frac{3}{2}$.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена сверху своим пределом. Все члены последовательности меньше $3/2$ ($x_n < \frac{3}{2}$).
Итак, последовательность ограничена и сверху, и снизу ($-2 \le x_n < \frac{3}{2}$), а значит, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является возрастающей и ограниченной.

г) $y_n = \frac{2n + 1}{3n + 5}$

1. Монотонность.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{2x + 1}{3x + 5}$ для $x \ge 1$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \frac{(2x + 1)'(3x + 5) - (2x + 1)(3x + 5)'}{(3x + 5)^2} = \frac{2(3x + 5) - (2x + 1) \cdot 3}{(3x + 5)^2} = \frac{6x + 10 - 6x - 3}{(3x + 5)^2} = \frac{7}{(3x + 5)^2}$.

Так как знаменатель $(3x + 5)^2$ всегда положителен для $x \ge 1$, а числитель равен 7 (положителен), то $f'(x) > 0$ для всех $x \ge 1$. Следовательно, функция является возрастающей. Это означает, что последовательность $y_n$ также является возрастающей, т.е. $y_{n+1} > y_n$ для всех $n \ge 1$.

2. Ограниченность.

Так как последовательность возрастающая, ее первый член будет наименьшим. Найдем $y_1$:
$y_1 = \frac{2(1) + 1}{3(1) + 5} = \frac{3}{8}$.
Таким образом, последовательность ограничена снизу числом $3/8$ ($y_n \ge \frac{3}{8}$).

Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ для определения верхней границы:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 1/n}{3 + 5/n} = \frac{2}{3}$.
Поскольку последовательность возрастает, она ограничена сверху своим пределом. Все члены последовательности меньше $2/3$ ($y_n < \frac{2}{3}$).
Итак, последовательность ограничена и сверху, и снизу ($\frac{3}{8} \le y_n < \frac{2}{3}$), а значит, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является возрастающей и ограниченной.

438. Укажите все значения $b$, при которых последовательность, за- данная формулой $a_n = \frac{1999n + b}{2000n}$, является:

а) возрастающей;

б) убывающей.

Для того чтобы определить, при каких значениях $b$ последовательность является возрастающей или убывающей, нужно исследовать знак разности ее соседних членов $a_{n+1} - a_n$.

Заданная последовательность имеет общий член $a_n = \frac{1999n + b}{2000n}$. Преобразуем это выражение: $a_n = \frac{1999n}{2000n} + \frac{b}{2000n} = \frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000n}$.

Теперь запишем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000(n+1)}$.

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000(n+1)}\right) - \left(\frac{1999}{2000} + \frac{b}{2000n}\right)$ $a_{n+1} - a_n = \frac{b}{2000(n+1)} - \frac{b}{2000n}$

Вынесем общий множитель за скобки и приведем к общему знаменателю: $a_{n+1} - a_n = \frac{b}{2000} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} \right) = \frac{b}{2000} \left( \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} \right) = \frac{b}{2000} \left( \frac{-1}{n(n+1)} \right)$ $a_{n+1} - a_n = -\frac{b}{2000n(n+1)}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2000n(n+1)$ в знаменателе всегда положительно. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя $-b$.

а) возрастающей

Последовательность является возрастающей, если $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$. Это эквивалентно условию $a_{n+1} - a_n > 0$. $-\frac{b}{2000n(n+1)} > 0$

Так как знаменатель положителен, неравенство сводится к следующему: $-b > 0$

Умножив обе части на -1 (и изменив знак неравенства), получим: $b < 0$

Ответ: $b < 0$.

б) убывающей

Последовательность является убывающей, если $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$. Это эквивалентно условию $a_{n+1} - a_n < 0$. $-\frac{b}{2000n(n+1)} < 0$

Так как знаменатель положителен, неравенство сводится к следующему: $-b < 0$

Умножив обе части на -1 (и изменив знак неравенства), получим: $b > 0$

Ответ: $b > 0$.