Страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

407. а) Что называют числовой последовательностью? членами числовой последовательности? Приведите примеры числовых последовательностей.

б) Что значит задать числовую последовательность?

в) Какие способы задания числовых последовательностей вы знаете?

а) Числовой последовательностью называют функцию, которая определена на множестве натуральных чисел. Говоря проще, это упорядоченный ряд чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ (номеру) соответствует некоторое число $a_n$.

Числа, образующие последовательность, называют её членами. Член последовательности, соответствующий номеру $n$, обозначается как $a_n$. Например, $a_1$ — это первый член, $a_2$ — второй, и так далее.

Примеры числовых последовательностей:
1. Последовательность положительных четных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, ...
2. Последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, ...
3. Последовательность чисел, обратных натуральным: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, ...$

Ответ: Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел (членов последовательности), где каждому члену соответствует его порядковый номер. Примеры: последовательность четных чисел (2, 4, 6,...), последовательность квадратов натуральных чисел (1, 4, 9,...).

б) Задать числовую последовательность — это значит указать правило или закон, по которому можно однозначно найти любой член последовательности, зная его порядковый номер $n$. Это правило должно быть применимо для любого натурального номера.

Ответ: Задать числовую последовательность означает указать способ, позволяющий для любого натурального номера $n$ найти соответствующий ему член последовательности $a_n$.

в) Существуют несколько способов задания числовых последовательностей. Наиболее распространенные из них:

1. Аналитический способ. Последовательность задается формулой её $n$-го члена, то есть формулой вида $a_n = f(n)$. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности прямой подстановкой его номера $n$.
Пример: последовательность нечетных чисел задается формулой $a_n = 2n - 1$. Для $n=1, a_1=1$; для $n=2, a_2=3$; и так далее.

2. Рекуррентный способ. Задается формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через один или несколько предыдущих членов. При этом обязательно задаются один или несколько начальных членов последовательности.
Пример: арифметическая прогрессия задается рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + d$, где нужно задать первый член $a_1$ и разность $d$. Последовательность Фибоначчи задается так: $a_1 = 1, a_2 = 1$, и $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ для $n \geq 1$.

3. Словесный способ. Правило, по которому находятся члены последовательности, описывается словами.
Пример: «последовательность простых чисел в порядке возрастания» (2, 3, 5, 7, 11, ...) или «последовательность десятичных знаков в записи числа $\pi$» (1, 4, 1, 5, 9, ...).

Ответ: Основные способы задания числовых последовательностей: аналитический (с помощью формулы n-го члена), рекуррентный (через предыдущие члены) и словесный (с помощью описания правила).

408. Дана последовательность чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ....

а) Назовите её первый, второй, третий, четвёртый, пятый и шестой члены.

б) Запишите формулу общего члена последовательности. Найдите седьмой, восьмой и двадцатый члены этой последовательности.

а)

В заданной последовательности 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... члены расположены в определённом порядке. Чтобы назвать первые шесть членов, достаточно перечислить первые шесть чисел из этой последовательности.
Первый член последовательности: 2
Второй член последовательности: 4
Третий член последовательности: 6
Четвёртый член последовательности: 8
Пятый член последовательности: 10
Шестой член последовательности: 12
Ответ: первый член – 2, второй – 4, третий – 6, четвёртый – 8, пятый – 10, шестой – 12.

б)

Чтобы записать формулу общего члена последовательности, необходимо найти закономерность, связывающую номер члена последовательности ($n$) с его значением ($a_n$). Заметим, что данная последовательность состоит из чётных чисел.
$a_1 = 2 = 2 \cdot 1$
$a_2 = 4 = 2 \cdot 2$
$a_3 = 6 = 2 \cdot 3$
$a_4 = 8 = 2 \cdot 4$
Из этого следует, что каждый член последовательности равен своему номеру, умноженному на 2. Таким образом, формула общего члена последовательности имеет вид:
$a_n = 2n$
Теперь, используя эту формулу, найдем седьмой ($n=7$), восьмой ($n=8$) и двадцатый ($n=20$) члены последовательности.
Седьмой член:
$a_7 = 2 \cdot 7 = 14$
Восьмой член:
$a_8 = 2 \cdot 8 = 16$
Двадцатый член:
$a_{20} = 2 \cdot 20 = 40$
Ответ: формула общего члена $a_n = 2n$; седьмой член равен 14, восьмой – 16, двадцатый – 40.

409. Запишите формулу общего члена последовательности:

а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...;

б) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...;

в) 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...;

г) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \dots$;

д) 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...;

е) -1, 1, -1, 1, -1, 1, ....

а) Данная последовательность представляет собой ряд натуральных чисел. Каждый член последовательности $a_n$ равен своему порядковому номеру $n$. Таким образом, формула общего члена имеет вид $a_n = n$.
Ответ: $a_n = n$.

б) Это последовательность нечетных натуральных чисел. Общий член такой последовательности можно найти по формуле $a_n = 2n - 1$. Проверим: при $n=1$ получаем $a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$; при $n=2$ получаем $a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$; при $n=3$ получаем $a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$, что соответствует заданной последовательности.
Ответ: $a_n = 2n - 1$.

в) Каждый член данной последовательности является произведением числа 4 на его порядковый номер $n$. Первый член $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$, второй член $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$, и так далее. Следовательно, формула общего члена $a_n = 4n$.
Ответ: $a_n = 4n$.

г) Эта последовательность состоит из чисел, обратных натуральным. Первый член $a_1 = 1 = \frac{1}{1}$, второй член $a_2 = \frac{1}{2}$, третий $a_3 = \frac{1}{3}$, и так далее. Значит, n-ый член последовательности равен $a_n = \frac{1}{n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$.

д) Это знакочередующаяся последовательность, где члены на нечетных позициях равны 1, а на четных -1. Такую закономерность можно описать с помощью степени числа -1. Выражение $(-1)^{n-1}$ дает 1 при нечетном $n$ (например, $n=1, (-1)^{1-1}=1$) и -1 при четном $n$ (например, $n=2, (-1)^{2-1}=-1$).
Ответ: $a_n = (-1)^{n-1}$.

е) Это знакочередующаяся последовательность, которая начинается с -1. Члены на нечетных позициях равны -1, а на четных 1. Это соответствует поведению выражения $(-1)^n$. При $n=1$ имеем $(-1)^1 = -1$, при $n=2$ имеем $(-1)^2 = 1$, и так далее.
Ответ: $a_n = (-1)^n$.

410. Дана формула общего члена последовательности:

a) $a_n = 3n - 1$. Найдите $a_1$; $a_2$; $a_5$; $a_{100}$;

б) $a_n = 3 + 2(n - 1)$. Найдите $a_1$; $a_2$; $a_{12}$; $a_{20}$.

а) Дана формула общего члена последовательности $a_n = 3n - 1$.

Чтобы найти требуемые члены последовательности, нужно подставить соответствующий порядковый номер $n$ в данную формулу.

Найдем $a_1$ (первый член последовательности), подставив $n=1$:

$a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2$

Найдем $a_2$ (второй член последовательности), подставив $n=2$:

$a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$

Найдем $a_5$ (пятый член последовательности), подставив $n=5$:

$a_5 = 3 \cdot 5 - 1 = 15 - 1 = 14$

Найдем $a_{100}$ (сотый член последовательности), подставив $n=100$:

$a_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 300 - 1 = 299$

Ответ: $a_1 = 2$; $a_2 = 5$; $a_5 = 14$; $a_{100} = 299$.

б) Дана формула общего члена последовательности $a_n = 3 + 2(n - 1)$.

Аналогично, чтобы найти требуемые члены последовательности, нужно подставить соответствующий порядковый номер $n$ в данную формулу.

Найдем $a_1$, подставив $n=1$:

$a_1 = 3 + 2(1 - 1) = 3 + 2 \cdot 0 = 3 + 0 = 3$

Найдем $a_2$, подставив $n=2$:

$a_2 = 3 + 2(2 - 1) = 3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$

Найдем $a_{12}$, подставив $n=12$:

$a_{12} = 3 + 2(12 - 1) = 3 + 2 \cdot 11 = 3 + 22 = 25$

Найдем $a_{20}$, подставив $n=20$:

$a_{20} = 3 + 2(20 - 1) = 3 + 2 \cdot 19 = 3 + 38 = 41$

Ответ: $a_1 = 3$; $a_2 = 5$; $a_{12} = 25$; $a_{20} = 41$.

411. Найдите сумму первых шести членов последовательности, заданной формулой общего члена:

а) $a_n = 3n + 2;$

б) $a_n = (-1)^n \cdot n.$

а) Для того чтобы найти сумму первых шести членов последовательности, заданной формулой $a_n = 3n + 2$, необходимо вычислить значения членов с первого по шестой и сложить их.
Вычислим первые шесть членов последовательности:
$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
$a_2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$
$a_3 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$
$a_4 = 3 \cdot 4 + 2 = 14$
$a_5 = 3 \cdot 5 + 2 = 17$
$a_6 = 3 \cdot 6 + 2 = 20$
Теперь найдем их сумму $S_6$:
$S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 = 75$.
Заметим, что данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=5$ и разностью $d=3$. Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В нашем случае $n=6$, $a_1=5$, $a_6=20$.
$S_6 = \frac{5 + 20}{2} \cdot 6 = \frac{25}{2} \cdot 6 = 25 \cdot 3 = 75$.
Ответ: 75.

б) Для того чтобы найти сумму первых шести членов последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$, необходимо вычислить значения членов с первого по шестой и сложить их.
Вычислим первые шесть членов последовательности:
$a_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1$
$a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
$a_3 = (-1)^3 \cdot 3 = -3$
$a_4 = (-1)^4 \cdot 4 = 4$
$a_5 = (-1)^5 \cdot 5 = -5$
$a_6 = (-1)^6 \cdot 6 = 6$
Теперь найдем их сумму $S_6$:
$S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6$
Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$S_6 = (-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: 3.

412. Числовая последовательность задана формулой общего члена

$x_n = 10 + 2n.$

а) Найдите $x_1; x_{10}; x_{100}.$

б) Запишите следующий и предшествующий члены для $x_n$ ($n \ge 2$).

в) Запишите член последовательности, имеющий номер $n + 2$.

Числовая последовательность задана формулой общего члена $x_n = 10 + 2n$.

а) Для нахождения членов последовательности $x_1$, $x_{10}$ и $x_{100}$ необходимо подставить в формулу общего члена соответствующие значения $n$: 1, 10 и 100.

Для $n=1$:

$x_1 = 10 + 2 \cdot 1 = 10 + 2 = 12$

Для $n=10$:

$x_{10} = 10 + 2 \cdot 10 = 10 + 20 = 30$

Для $n=100$:

$x_{100} = 10 + 2 \cdot 100 = 10 + 200 = 210$

Ответ: $x_1 = 12$; $x_{10} = 30$; $x_{100} = 210$.

б) Предшествующий член для $x_n$ имеет номер $n-1$, а последующий — номер $n+1$. Условие $n \ge 2$ дано для того, чтобы номер предшествующего члена $n-1$ был натуральным числом ($n-1 \ge 1$).

Найдем предшествующий член $x_{n-1}$, подставив в формулу вместо $n$ выражение $n-1$:

$x_{n-1} = 10 + 2(n-1) = 10 + 2n - 2 = 8 + 2n$

Найдем последующий член $x_{n+1}$, подставив в формулу вместо $n$ выражение $n+1$:

$x_{n+1} = 10 + 2(n+1) = 10 + 2n + 2 = 12 + 2n$

Ответ: Предшествующий член: $x_{n-1} = 8 + 2n$. Последующий член: $x_{n+1} = 12 + 2n$.

в) Чтобы найти член последовательности с номером $n+2$, необходимо подставить в формулу общего члена вместо $n$ выражение $n+2$.

$x_{n+2} = 10 + 2(n+2) = 10 + 2n + 4 = 14 + 2n$

Ответ: $x_{n+2} = 14 + 2n$.

413. Последовательность задана формулой n-го члена:

а) $a_n = 3n - 2;$

б) $b_n = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n;$

в) $c_n = (-2)^n.$

Вычислите три первых и десятый член этой последовательности.

а) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 3n - 2$, вычислим первые три члена и десятый член.

Для этого подставим в формулу значения $n=1, 2, 3$ и $10$.

Первый член ($n=1$):
$a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$

Второй член ($n=2$):
$a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$

Третий член ($n=3$):
$a_3 = 3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7$

Десятый член ($n=10$):
$a_{10} = 3 \cdot 10 - 2 = 30 - 2 = 28$

Ответ: $a_1=1$, $a_2=4$, $a_3=7$, $a_{10}=28$.

б) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$, вычислим первые три члена и десятый член.

Для этого подставим в формулу значения $n=1, 2, 3$ и $10$.

Первый член ($n=1$):
$b_1 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$

Второй член ($n=2$):
$b_2 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$

Третий член ($n=3$):
$b_3 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 16 \cdot \frac{1}{8} = 2$

Десятый член ($n=10$):
$b_{10} = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 16 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}$

Ответ: $b_1=8$, $b_2=4$, $b_3=2$, $b_{10}=\frac{1}{64}$.

в) Для последовательности, заданной формулой $c_n = (-2)^n$, вычислим первые три члена и десятый член.

Для этого подставим в формулу значения $n=1, 2, 3$ и $10$.

Первый член ($n=1$):
$c_1 = (-2)^1 = -2$

Второй член ($n=2$):
$c_2 = (-2)^2 = 4$

Третий член ($n=3$):
$c_3 = (-2)^3 = -8$

Десятый член ($n=10$):
$c_{10} = (-2)^{10} = 1024$

Ответ: $c_1=-2$, $c_2=4$, $c_3=-8$, $c_{10}=1024$.