Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (402—403):

402. а) $ \left(\frac{a^{\frac{1}{2}}+2}{a+2a^{\frac{1}{2}}+1} - \frac{a^{\frac{1}{2}}-2}{a-1}\right) \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}}; $

б) $ \left(\frac{x^{\frac{1}{2}}+3y^{\frac{1}{2}}}{x-2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y} + \frac{x^{\frac{1}{2}}-3y^{\frac{1}{2}}}{x-y}\right) \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{2}. $

а) Решим по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, а затем умножение.

1. Упростим знаменатели дробей в скобках. Для этого используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и разность квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Знаменатель первой дроби: $a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1$. Если представить $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$, то получим формулу квадрата суммы:
$a + 2a^{\frac{1}{2}} + 1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (a^{\frac{1}{2}} + 1)^2$.
Знаменатель второй дроби: $a - 1$. Представим $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$, получим формулу разности квадратов:
$a - 1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)$.

2. Перепишем выражение в скобках с новыми знаменателями и приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)$.
$\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2} - \frac{a^{\frac{1}{2}} - 2}{(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) - (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1)}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$(a^{\frac{1}{2}} + 2)(a^{\frac{1}{2}} - 1) = a - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = a + a^{\frac{1}{2}} - 2$
$(a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 1) = a + a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} - 2 = a - a^{\frac{1}{2}} - 2$
$(a + a^{\frac{1}{2}} - 2) - (a - a^{\frac{1}{2}} - 2) = a + a^{\frac{1}{2}} - 2 - a + a^{\frac{1}{2}} + 2 = 2a^{\frac{1}{2}}$
Результат действия в скобках: $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)}$.

4. Умножим полученный результат на вторую часть выражения:
$\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)^2(a^{\frac{1}{2}} - 1)} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}}}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a^{\frac{1}{2}}$ и $(a^{\frac{1}{2}} + 1)$.
$\frac{2}{(a^{\frac{1}{2}} + 1)(a^{\frac{1}{2}} - 1)} = \frac{2}{a-1}$.
Ответ: $\frac{2}{a-1}$

б) Решим по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, а затем умножение.

1. Упростим знаменатели дробей в скобках. Используем формулы квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Знаменатель первой дроби: $x - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2$.
Знаменатель второй дроби: $x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

2. Перепишем выражение в скобках с новыми знаменателями и приведем дроби к общему знаменателю $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.
$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 3y^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} - 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = x + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y = x + 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y$
$(x^{\frac{1}{2}} - 3y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) = x - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y = x - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y$
$(x + 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y) + (x - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 3y) = 2x + 6y = 2(x + 3y)$
Результат действия в скобках: $\frac{2(x + 3y)}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}$.

4. Умножим полученный результат на вторую часть выражения:
$\frac{2(x + 3y)}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{2}$
Сократим общие множители 2 и $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$:
$\frac{x + 3y}{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x + 3y}{x - y}$.
Ответ: $\frac{x + 3y}{x - y}$

403. a) $(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})^{-2} + (a^{-\frac{1}{2}} - b^{-\frac{1}{2}})^{-2};$

б) $(x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}(y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{2}}))^{-\frac{3}{2}};$

в) $\left(\frac{a+1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} - \frac{a-1}{a - a^{\frac{1}{2}}}\right)^2 \cdot$

а)

Дано выражение: $ \left(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2} + \left(a^{-\frac{1}{2}} - b^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2} $.

Для удобства введем замену: пусть $x = a^{-\frac{1}{2}}$ и $y = b^{-\frac{1}{2}}$. Тогда выражение принимает вид:

$ (x+y)^{-2} + (x-y)^{-2} $

Используя свойство степени $z^{-n} = \frac{1}{z^n}$, перепишем выражение:

$ \frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(x-y)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)^2(x-y)^2 = ((x+y)(x-y))^2 = (x^2-y^2)^2$:

$ \frac{(x-y)^2 + (x+y)^2}{(x^2-y^2)^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$ \frac{(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)}{(x^2-y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2} $

Теперь выполним обратную замену. Вспомним, что $x = a^{-\frac{1}{2}}$ и $y = b^{-\frac{1}{2}}$. Тогда:

$ x^2 = (a^{-\frac{1}{2}})^2 = a^{-1} = \frac{1}{a} $

$ y^2 = (b^{-\frac{1}{2}})^2 = b^{-1} = \frac{1}{b} $

Подставим эти значения обратно в упрощенное выражение:

$ \frac{2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2} $

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби:

Числитель: $ 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2 \cdot \frac{b+a}{ab} = \frac{2(a+b)}{ab} $.

Знаменатель: $ (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})^2 = (\frac{b-a}{ab})^2 = \frac{(b-a)^2}{(ab)^2} = \frac{(a-b)^2}{a^2b^2} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{2(a+b)}{ab}}{\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}} = \frac{2(a+b)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a-b)^2} = \frac{2ab(a+b)}{(a-b)^2} $

Область допустимых значений: $a > 0, b > 0, a \neq b$.

Ответ: $ \frac{2ab(a+b)}{(a-b)^2} $

б)

Дано выражение: $ \left( x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}(y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{2}}) \right)^{-\frac{3}{2}} $.

Сначала упростим выражение внутри больших скобок. Раскроем внутренние скобки, умножив $x^{-\frac{1}{6}}$ на каждый член в них:

$ x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{2}} $

Упростим произведение степеней в третьем слагаемом, используя правило $a^m a^n = a^{m+n}$:

$ x^{-\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{6} - \frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{6} - \frac{2}{6}} = x^{-\frac{3}{6}} = x^{-\frac{1}{2}} $

Подставим это обратно в выражение:

$ x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} - x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} $

Первое и третье слагаемые являются противоположными и взаимно уничтожаются:

$ (x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}) + x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} = x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} $

Теперь исходное выражение сводится к возведению полученного одночлена в степень $-\frac{3}{2}$:

$ \left( x^{-\frac{1}{6}}y^{-\frac{5}{6}} \right)^{-\frac{3}{2}} $

Применим свойство степени $(a^m b^k)^n = a^{mn}b^{kn}$:

$ x^{(-\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{3}{2})} \cdot y^{(-\frac{5}{6}) \cdot (-\frac{3}{2})} $

Вычислим новые показатели степеней:

Для $x$: $ (-\frac{1}{6}) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $.

Для $y$: $ (-\frac{5}{6}) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} $.

Таким образом, получаем окончательный результат:

$ x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{5}{4}} $

Область допустимых значений: $x > 0, y > 0$.

Ответ: $ x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{5}{4}} $

в)

Дано выражение: $ \left( \frac{a+1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} - \frac{a-1}{a - a^{\frac{1}{2}}} \right)^2 $.

Упростим каждую дробь в скобках по отдельности.

1. Упростим первую дробь $ \frac{a+1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} $.

Числитель $a+1$ можно представить как сумму кубов: $a+1 = (a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3$.

Применим формулу суммы кубов $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$:

$ a+1 = (a^{\frac{1}{3}}+1)( (a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}\cdot1 + 1^2 ) = (a^{\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1) $

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{(a^{\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1)}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1} = a^{\frac{1}{3}}+1 $

2. Упростим вторую дробь $ \frac{a-1}{a - a^{\frac{1}{2}}} $.

Числитель $a-1$ можно разложить как разность квадратов: $a-1 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)$.

Знаменатель $a - a^{\frac{1}{2}}$ можно разложить, вынеся общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$: $a - a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим (при условии $a \neq 1$):

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-1)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}} $

Разделим почленно: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = 1 + a^{-\frac{1}{2}} $.

3. Подставим упрощенные дроби обратно в исходное выражение:

$ \left( (a^{\frac{1}{3}}+1) - (1 + a^{-\frac{1}{2}}) \right)^2 = (a^{\frac{1}{3}}+1 - 1 - a^{-\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{2}})^2 $

4. Раскроем квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$ (a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + (a^{-\frac{1}{2}})^2 $

Упростим каждый член выражения:

$ a^{2 \cdot \frac{1}{3}} - 2a^{\frac{1}{3} + (-\frac{1}{2})} + a^{-2 \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{2-3}{6}} + a^{-1} = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{-\frac{1}{6}} + a^{-1} $

Выражение также можно записать в виде: $ a^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{a^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{a} $.

Область допустимых значений: $a > 0, a \neq 1$.

Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} - 2a^{-\frac{1}{6}} + a^{-1} $

Сравните числа (404—406):

404. а) $15^{\frac{1}{4}}$ и $3,9^{\frac{1}{2}}$;

б) $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ и $3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$;

в) $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ и $4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$;

г) $\left(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$ и $\left(3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$.

а) Чтобы сравнить числа $15^{\frac{1}{4}}$ и $3,9^{\frac{1}{2}}$, возведем оба числа в 4-ю степень. Это преобразование является равносильным, поскольку оба числа положительны, а функция $y=x^4$ возрастает для положительных $x$.

$(15^{\frac{1}{4}})^4 = 15^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 15^1 = 15$.

$(3,9^{\frac{1}{2}})^4 = 3,9^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 3,9^2 = 15,21$.

Так как $15 < 15,21$, то и исходное первое число меньше второго.

Ответ: $15^{\frac{1}{4}} < 3,9^{\frac{1}{2}}$.

б) Для сравнения чисел $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ и $3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ возведем оба выражения в 3-ю степень. Это возможно, так как оба числа положительны, а функция $y=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси.

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})^3 = 2^3 \cdot (3^{\frac{1}{3}})^3 = 8 \cdot 3 = 24$.

$(3 \cdot 2^{\frac{1}{3}})^3 = 3^3 \cdot (2^{\frac{1}{3}})^3 = 27 \cdot 2 = 54$.

Поскольку $24 < 54$, то и $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} < 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} < 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

в) Сравним числа $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ и $4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$. Оба числа положительны, поэтому их можно сравнить, возведя в 3-ю степень. Знак неравенства при этом не изменится.

$(3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})^3 = 3^3 \cdot (4^{\frac{1}{3}})^3 = 27 \cdot 4 = 108$.

$(4 \cdot 2^{\frac{1}{3}})^3 = 4^3 \cdot (2^{\frac{1}{3}})^3 = 64 \cdot 2 = 128$.

Так как $108 < 128$, то и $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} < 4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} < 4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

г) Требуется сравнить числа $(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}}$ и $(3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}}$.

Функция $y=x^{\frac{3}{2}}$ является возрастающей для $x > 0$. Следовательно, знак неравенства для исходных чисел будет таким же, как и для их оснований. Сравним основания: $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ и $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$.

Так как оба основания положительны, мы можем сравнить их квадраты:

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^2 = 2^2 \cdot (3^{\frac{1}{2}})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

$(3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^2 = 3^2 \cdot (2^{\frac{1}{2}})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Поскольку $12 < 18$, то $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} < 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$. В силу монотонного возрастания функции $y=x^{\frac{3}{2}}$, исходное неравенство имеет тот же знак.

Ответ: $(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}} < (3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}}$.

405. a) $8^{\frac{3}{2}}$ и $12^{\frac{3}{4}}$;

б) $\sqrt[3]{12}$ и $\sqrt{5}$;

в) $12^{\frac{3}{2}}$ и $18^{\frac{2}{3}}$;

г) $64^{\frac{4}{3}}$ и $36^{\frac{3}{2}}$.

а) Для сравнения чисел $8^{\frac{3}{2}}$ и $12^{\frac{3}{4}}$ приведем их к одному показателю степени. Удобно привести оба числа к степени с показателем $\frac{1}{4}$.
Преобразуем первое число: $8^{\frac{3}{2}} = 8^{\frac{6}{4}} = (8^6)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{8^6}$.
Преобразуем второе число: $12^{\frac{3}{4}} = (12^3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{12^3}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $8^6$ и $12^3$.
$8^6 = (2^3)^6 = 2^{18}$.
$12^3 = (3 \cdot 4)^3 = (3 \cdot 2^2)^3 = 3^3 \cdot (2^2)^3 = 27 \cdot 2^6$.
Сравним $2^{18}$ и $27 \cdot 2^6$. Разделим оба числа на $2^6$:
$2^{18} : 2^6 = 2^{12} = 4096$.
$27 \cdot 2^6 : 2^6 = 27$.
Так как $4096 > 27$, то $8^6 > 12^3$.
Поскольку функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей, из $8^6 > 12^3$ следует, что $\sqrt[4]{8^6} > \sqrt[4]{12^3}$.
Следовательно, $8^{\frac{3}{2}} > 12^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $8^{\frac{3}{2}} > 12^{\frac{3}{4}}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{12}$ и $\sqrt{5}$, запишем их в виде степеней с рациональным показателем: $12^{\frac{1}{3}}$ и $5^{\frac{1}{2}}$.
Чтобы избавиться от дробных показателей, возведем оба числа в степень, равную наименьшему общему кратному знаменателей показателей (3 и 2), то есть в 6-ю степень. Так как мы возводим в положительную степень, знак неравенства сохранится.
$(\sqrt[3]{12})^6 = (12^{\frac{1}{3}})^6 = 12^{\frac{6}{3}} = 12^2 = 144$.
$(\sqrt{5})^6 = (5^{\frac{1}{2}})^6 = 5^{\frac{6}{2}} = 5^3 = 125$.
Так как $144 > 125$, то и исходное число больше.
Следовательно, $\sqrt[3]{12} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{12} > \sqrt{5}$.

в) Чтобы сравнить числа $12^{\frac{3}{2}}$ и $18^{\frac{2}{3}}$, возведем их в степень, равную наименьшему общему кратному знаменателей показателей (2 и 3), то есть в 6-ю степень.
$(12^{\frac{3}{2}})^6 = 12^{\frac{3}{2} \cdot 6} = 12^9$.
$(18^{\frac{2}{3}})^6 = 18^{\frac{2}{3} \cdot 6} = 18^4$.
Теперь сравним $12^9$ и $18^4$. Разложим основания на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $18 = 2 \cdot 3^2$.
$12^9 = (2^2 \cdot 3)^9 = (2^2)^9 \cdot 3^9 = 2^{18} \cdot 3^9$.
$18^4 = (2 \cdot 3^2)^4 = 2^4 \cdot (3^2)^4 = 2^4 \cdot 3^8$.
Сравним $2^{18} \cdot 3^9$ и $2^4 \cdot 3^8$. Разделим оба выражения на общее положительное число $2^4 \cdot 3^8$.
Слева останется: $\frac{2^{18} \cdot 3^9}{2^4 \cdot 3^8} = 2^{18-4} \cdot 3^{9-8} = 2^{14} \cdot 3$.
Справа останется: $\frac{2^4 \cdot 3^8}{2^4 \cdot 3^8} = 1$.
Так как $2^{14} \cdot 3$ очевидно больше 1, то $12^9 > 18^4$, а значит и $12^{\frac{3}{2}} > 18^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $12^{\frac{3}{2}} > 18^{\frac{2}{3}}$.

г) Чтобы сравнить числа $64^{\frac{4}{3}}$ и $36^{\frac{3}{2}}$, вычислим их значения.
$64^{\frac{4}{3}} = (64^{\frac{1}{3}})^4 = (\sqrt[3]{64})^4$. Так как $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Следовательно, $64^{\frac{4}{3}} = 4^4 = 256$.
$36^{\frac{3}{2}} = (36^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{36})^3$. Так как $6^2 = 36$, то $\sqrt{36} = 6$.
Следовательно, $36^{\frac{3}{2}} = 6^3 = 216$.
Сравниваем полученные значения: $256 > 216$.
Таким образом, $64^{\frac{4}{3}} > 36^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $64^{\frac{4}{3}} > 36^{\frac{3}{2}}$.

406. a) $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}}$ И $(\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$;

б) $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}$ И $\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$;

в) $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}$ И $\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$;

г) $(\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}}$ И $(\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}}$.

а) Сравним два числа: $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}}$ и $(\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$.
Основание степени $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Степенная функция $y=a^x$ с таким основанием является убывающей. Это означает, что для показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
Сравним показатели степеней: $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю 8.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Так как $\frac{5}{8} < \frac{6}{8}$, то, согласно свойству убывающей степенной функции, неравенство для самих чисел будет иметь противоположный знак.
Следовательно, $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}} > (\frac{2}{5})^{\frac{6}{8}}$, что означает $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}} > (\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}} > (\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$.

б) Сравним выражения $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}$ и $\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$.
Сначала упростим каждое выражение, представив корни в виде степеней с рациональными показателями и применив свойство частного степеней с одинаковым основанием ($a^m/a^n = a^{m-n}$).
Первое выражение: $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} = \frac{2^{\frac{5}{8}}}{2^{\frac{1}{6}}} = 2^{\frac{5}{8} - \frac{1}{6}} = 2^{\frac{15-4}{24}} = 2^{\frac{11}{24}}$.
Второе выражение: $\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac{2^{\frac{7}{4}}}{2^{\frac{4}{3}}} = 2^{\frac{7}{4} - \frac{4}{3}} = 2^{\frac{21-16}{12}} = 2^{\frac{5}{12}}$.
Теперь необходимо сравнить $2^{\frac{11}{24}}$ и $2^{\frac{5}{12}}$. Основание степени $a = 2$ больше 1, поэтому степенная функция $y=a^x$ является возрастающей. Большему показателю соответствует большее значение степени.
Сравним показатели $\frac{11}{24}$ и $\frac{5}{12}$. Приведем дроби к общему знаменателю 24: $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$.
Так как $\frac{11}{24} > \frac{10}{24}$, то и $2^{\frac{11}{24}} > 2^{\frac{10}{24}}$, а значит $2^{\frac{11}{24}} > 2^{\frac{5}{12}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} > \frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$.

в) Сравним выражения $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}$ и $\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$.
Упростим каждое выражение, перейдя к степеням с рациональными показателями.
Первое выражение: $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} = \frac{3^{\frac{10}{15}}}{3^{\frac{3}{10}}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{3}{10}}} = 3^{\frac{2}{3} - \frac{3}{10}} = 3^{\frac{20-9}{30}} = 3^{\frac{11}{30}}$.
Второе выражение: $\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}} = \frac{3^{\frac{2}{14}}}{3^{\frac{2}{9}}} = \frac{3^{\frac{1}{7}}}{3^{\frac{2}{9}}} = 3^{\frac{1}{7} - \frac{2}{9}} = 3^{\frac{9-14}{63}} = 3^{-\frac{5}{63}}$.
Теперь сравним полученные результаты: $3^{\frac{11}{30}}$ и $3^{-\frac{5}{63}}$.
Основание степени $a=3$ больше 1, значит, функция возрастающая. Сравним показатели: $\frac{11}{30}$ и $-\frac{5}{63}$.
Так как $\frac{11}{30}$ — положительное число, а $-\frac{5}{63}$ — отрицательное, очевидно, что $\frac{11}{30} > -\frac{5}{63}$.
Поскольку функция возрастающая, то $3^{\frac{11}{30}} > 3^{-\frac{5}{63}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} > \frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$.

г) Сравним числа $(\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}}$ и $(\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}}$.
Оба числа положительны. Чтобы их сравнить, можно возвести оба числа в одну и ту же положительную степень. Выберем в качестве такой степени наименьшее общее кратное знаменателей показателей 6 и 5, то есть 30. При возведении в положительную степень знак неравенства не изменится.
Возведем первое число в степень 30:
$((\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}})^{30} = (\frac{1}{5})^{\frac{30}{6}} = (\frac{1}{5})^5 = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}$.
Возведем второе число в степень 30:
$((\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}})^{30} = (\frac{1}{6})^{\frac{30}{5}} = (\frac{1}{6})^6 = \frac{1}{6^6} = \frac{1}{46656}$.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{3125}$ и $\frac{1}{46656}$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) больше та, у которой знаменатель меньше.
Так как $3125 < 46656$, то $\frac{1}{3125} > \frac{1}{46656}$.
Следовательно, и исходные числа находятся в том же соотношении.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}} > (\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}}$.