Номер 405, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

405. a) $8^{\frac{3}{2}}$ и $12^{\frac{3}{4}}$;

б) $\sqrt[3]{12}$ и $\sqrt{5}$;

в) $12^{\frac{3}{2}}$ и $18^{\frac{2}{3}}$;

г) $64^{\frac{4}{3}}$ и $36^{\frac{3}{2}}$.

а) Для сравнения чисел $8^{\frac{3}{2}}$ и $12^{\frac{3}{4}}$ приведем их к одному показателю степени. Удобно привести оба числа к степени с показателем $\frac{1}{4}$.
Преобразуем первое число: $8^{\frac{3}{2}} = 8^{\frac{6}{4}} = (8^6)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{8^6}$.
Преобразуем второе число: $12^{\frac{3}{4}} = (12^3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{12^3}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $8^6$ и $12^3$.
$8^6 = (2^3)^6 = 2^{18}$.
$12^3 = (3 \cdot 4)^3 = (3 \cdot 2^2)^3 = 3^3 \cdot (2^2)^3 = 27 \cdot 2^6$.
Сравним $2^{18}$ и $27 \cdot 2^6$. Разделим оба числа на $2^6$:
$2^{18} : 2^6 = 2^{12} = 4096$.
$27 \cdot 2^6 : 2^6 = 27$.
Так как $4096 > 27$, то $8^6 > 12^3$.
Поскольку функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей, из $8^6 > 12^3$ следует, что $\sqrt[4]{8^6} > \sqrt[4]{12^3}$.
Следовательно, $8^{\frac{3}{2}} > 12^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $8^{\frac{3}{2}} > 12^{\frac{3}{4}}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{12}$ и $\sqrt{5}$, запишем их в виде степеней с рациональным показателем: $12^{\frac{1}{3}}$ и $5^{\frac{1}{2}}$.
Чтобы избавиться от дробных показателей, возведем оба числа в степень, равную наименьшему общему кратному знаменателей показателей (3 и 2), то есть в 6-ю степень. Так как мы возводим в положительную степень, знак неравенства сохранится.
$(\sqrt[3]{12})^6 = (12^{\frac{1}{3}})^6 = 12^{\frac{6}{3}} = 12^2 = 144$.
$(\sqrt{5})^6 = (5^{\frac{1}{2}})^6 = 5^{\frac{6}{2}} = 5^3 = 125$.
Так как $144 > 125$, то и исходное число больше.
Следовательно, $\sqrt[3]{12} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{12} > \sqrt{5}$.

в) Чтобы сравнить числа $12^{\frac{3}{2}}$ и $18^{\frac{2}{3}}$, возведем их в степень, равную наименьшему общему кратному знаменателей показателей (2 и 3), то есть в 6-ю степень.
$(12^{\frac{3}{2}})^6 = 12^{\frac{3}{2} \cdot 6} = 12^9$.
$(18^{\frac{2}{3}})^6 = 18^{\frac{2}{3} \cdot 6} = 18^4$.
Теперь сравним $12^9$ и $18^4$. Разложим основания на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $18 = 2 \cdot 3^2$.
$12^9 = (2^2 \cdot 3)^9 = (2^2)^9 \cdot 3^9 = 2^{18} \cdot 3^9$.
$18^4 = (2 \cdot 3^2)^4 = 2^4 \cdot (3^2)^4 = 2^4 \cdot 3^8$.
Сравним $2^{18} \cdot 3^9$ и $2^4 \cdot 3^8$. Разделим оба выражения на общее положительное число $2^4 \cdot 3^8$.
Слева останется: $\frac{2^{18} \cdot 3^9}{2^4 \cdot 3^8} = 2^{18-4} \cdot 3^{9-8} = 2^{14} \cdot 3$.
Справа останется: $\frac{2^4 \cdot 3^8}{2^4 \cdot 3^8} = 1$.
Так как $2^{14} \cdot 3$ очевидно больше 1, то $12^9 > 18^4$, а значит и $12^{\frac{3}{2}} > 18^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $12^{\frac{3}{2}} > 18^{\frac{2}{3}}$.

г) Чтобы сравнить числа $64^{\frac{4}{3}}$ и $36^{\frac{3}{2}}$, вычислим их значения.
$64^{\frac{4}{3}} = (64^{\frac{1}{3}})^4 = (\sqrt[3]{64})^4$. Так как $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Следовательно, $64^{\frac{4}{3}} = 4^4 = 256$.
$36^{\frac{3}{2}} = (36^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{36})^3$. Так как $6^2 = 36$, то $\sqrt{36} = 6$.
Следовательно, $36^{\frac{3}{2}} = 6^3 = 216$.
Сравниваем полученные значения: $256 > 216$.
Таким образом, $64^{\frac{4}{3}} > 36^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $64^{\frac{4}{3}} > 36^{\frac{3}{2}}$.