Номер 399, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

399. a) $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{2}})^3$;

б) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{3}})^3$;

в) $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{3}})^3$.

а) Для раскрытия скобок в выражении $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{2}})^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.
В данном случае $A = x^{\frac{1}{3}}$ и $B = y^{\frac{1}{2}}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{2}})^3 = (x^{\frac{1}{3}})^3 - 3(x^{\frac{1}{3}})^2(y^{\frac{1}{2}}) + 3(x^{\frac{1}{3}})(y^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^3$.
Теперь упростим каждый член выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
Первый член: $(x^{\frac{1}{3}})^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 = x$.
Второй член: $3(x^{\frac{1}{3}})^2(y^{\frac{1}{2}}) = 3x^{\frac{1}{3} \cdot 2}y^{\frac{1}{2}} = 3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{2}}$.
Третий член: $3(x^{\frac{1}{3}})(y^{\frac{1}{2}})^2 = 3x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3x^{\frac{1}{3}}y^1 = 3x^{\frac{1}{3}}y$.
Четвертый член: $(y^{\frac{1}{2}})^3 = y^{\frac{1}{2} \cdot 3} = y^{\frac{3}{2}}$.
Соберем все члены вместе и получим окончательный результат:
$x - 3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{3}}y - y^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $x - 3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{3}}y - y^{\frac{3}{2}}$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{3}})^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.
В данном случае $A = m^{\frac{1}{2}}$ и $B = n^{\frac{2}{3}}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{3}})^3 = (m^{\frac{1}{2}})^3 + 3(m^{\frac{1}{2}})^2(n^{\frac{2}{3}}) + 3(m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{2}{3}})^2 + (n^{\frac{2}{3}})^3$.
Упростим каждый член выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
Первый член: $(m^{\frac{1}{2}})^3 = m^{\frac{1}{2} \cdot 3} = m^{\frac{3}{2}}$.
Второй член: $3(m^{\frac{1}{2}})^2(n^{\frac{2}{3}}) = 3m^{\frac{1}{2} \cdot 2}n^{\frac{2}{3}} = 3m^1n^{\frac{2}{3}} = 3mn^{\frac{2}{3}}$.
Третий член: $3(m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{2}{3}})^2 = 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{2}{3} \cdot 2} = 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{4}{3}}$.
Четвертый член: $(n^{\frac{2}{3}})^3 = n^{\frac{2}{3} \cdot 3} = n^2$.
Соберем все члены вместе и получим окончательный результат:
$m^{\frac{3}{2}} + 3mn^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{4}{3}} + n^2$.
Ответ: $m^{\frac{3}{2}} + 3mn^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{4}{3}} + n^2$.

в) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{3}})^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.
В данном случае $A = a^{\frac{1}{2}}$ и $B = b^{\frac{1}{3}}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{2}})^3 - 3(a^{\frac{1}{2}})^2(b^{\frac{1}{3}}) + 3(a^{\frac{1}{2}})(b^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Упростим каждый член выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
Первый член: $(a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^{\frac{3}{2}}$.
Второй член: $3(a^{\frac{1}{2}})^2(b^{\frac{1}{3}}) = 3a^{\frac{1}{2} \cdot 2}b^{\frac{1}{3}} = 3a^1b^{\frac{1}{3}} = 3ab^{\frac{1}{3}}$.
Третий член: $3(a^{\frac{1}{2}})(b^{\frac{1}{3}})^2 = 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}}$.
Четвертый член: $(b^{\frac{1}{3}})^3 = b^{\frac{1}{3} \cdot 3} = b^1 = b$.
Соберем все члены вместе и получим окончательный результат:
$a^{\frac{3}{2}} - 3ab^{\frac{1}{3}} + 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}} - b$.
Ответ: $a^{\frac{3}{2}} - 3ab^{\frac{1}{3}} + 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}} - b$.