Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

388. а) $a^{-\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$;

б) $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$;

в) $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}};$

г) $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}.$

а) $a^{\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$

Для решения данного примера необходимо представить все члены в виде степеней с одинаковым основанием. Корень из $a$ можно записать как степень с дробным показателем: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

Тогда исходное выражение примет вид: $a^{\frac{1}{2}} : a^{\frac{1}{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по правилу $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

Ответ: 1

б) $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$

Представим корень пятой степени в виде степени с дробным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[5]{z^2} = z^{\frac{2}{5}}$.

Теперь выражение выглядит так: $z^{\frac{2}{3}} : z^{\frac{2}{5}}$.

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием, вычитая показатели: $z^{\frac{2}{3} - \frac{2}{5}}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{15} - \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15}$.

Таким образом, результат: $z^{\frac{4}{15}}$.

Ответ: $z^{\frac{4}{15}}$

в) $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}}$

Сначала представим корень четвертой степени в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{m} = m^{\frac{1}{4}}$.

Исходное выражение преобразуется в: $m^{\frac{1}{4}} : m^{-\frac{1}{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $m^{\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2})}$.

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.

В результате получаем: $m^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $m^{\frac{3}{4}}$

г) $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}$

Представим кубический корень как степень с дробным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.

Выражение принимает вид: $a^{\frac{1}{3}} : a^{-\frac{1}{6}}$.

Используем правило деления степеней, вычитая показатели: $a^{\frac{1}{3} - (-\frac{1}{6})}$.

Упростим выражение в показателе степени: $a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$.

Сократим дробь в показателе: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Окончательный результат: $a^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$

389. а) $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} \cdot a^{-\frac{1}{8}}$;

б) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} : x^{-\frac{3}{16}}$.

а)

Для решения данного примера необходимо упростить выражение. Сначала преобразуем выражение с вложенными корнями в степенное выражение с дробным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ и свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Мы будем двигаться от самого внутреннего корня к внешнему.

1. Преобразуем первый множитель $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$:
Начнем с внутреннего выражения: $\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{1+\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} = \sqrt{a \cdot a^{\frac{3}{4}}} = \sqrt{a^{1+\frac{3}{4}}} = \sqrt{a^{\frac{7}{4}}} = (a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{8}}$.

2. Теперь выполним умножение полученного выражения на второй множитель $a^{-\frac{1}{8}}$, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^{\frac{7}{8}} \cdot a^{-\frac{1}{8}} = a^{\frac{7}{8} + (-\frac{1}{8})} = a^{\frac{7-1}{8}} = a^{\frac{6}{8}} = a^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{4}}$

б)

Данный пример решается аналогично. Сначала упростим выражение с вложенными корнями, представив его в виде степени с дробным показателем, а затем выполним деление.

1. Преобразуем делимое $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}$:
$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}} = \sqrt{x\sqrt{x \cdot (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt{x\sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}}}$
Продолжаем упрощение:
$\sqrt{x\sqrt{x^{1+\frac{3}{4}}}} = \sqrt{x\sqrt{x^{\frac{7}{4}}}} = \sqrt{x \cdot (x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{7}{8}}}$
И завершаем:
$\sqrt{x^{1+\frac{7}{8}}} = \sqrt{x^{\frac{15}{8}}} = (x^{\frac{15}{8}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{15}{16}}$.

2. Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$x^{\frac{15}{16}} : x^{-\frac{3}{16}} = x^{\frac{15}{16} - (-\frac{3}{16})} = x^{\frac{15}{16} + \frac{3}{16}} = x^{\frac{15+3}{16}} = x^{\frac{18}{16}} = x^{\frac{9}{8}}$.

Ответ: $x^{\frac{9}{8}}$

390. а) $(a^{\frac{1}{2}})^3$;

б) $(x^{\frac{2}{3}})^6$;

в) $(b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}}$;

г) $(y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}}$.

Для решения всех пунктов используется свойство степени: при возведении степени в степень их показатели перемножаются. Формула: $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $.

а) Упростим выражение $ (a^{\frac{1}{2}})^3 $.

Применим свойство возведения степени в степень. Для этого нужно перемножить показатели $ \frac{1}{2} $ и $ 3 $.

$ \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} $.

Следовательно, выражение равно $ a^{\frac{3}{2}} $.

Ответ: $ a^{\frac{3}{2}} $

б) Упростим выражение $ (x^{\frac{2}{3}})^6 $.

Используя то же свойство, перемножим показатели степени $ \frac{2}{3} $ и $ 6 $.

$ \frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4 $.

В результате получаем $ x^4 $.

Ответ: $ x^4 $

в) Упростим выражение $ (b^{\frac{2}{3}})^{\frac{5}{6}} $.

Перемножим дробные показатели $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $.

$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} = \frac{10}{18} $.

Сократим полученную дробь: $ \frac{10}{18} = \frac{5}{9} $.

Таким образом, итоговое выражение имеет вид $ b^{\frac{5}{9}} $.

Ответ: $ b^{\frac{5}{9}} $

г) Упростим выражение $ (y^{\frac{4}{7}})^{\frac{21}{20}} $.

Перемножим показатели степени $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{21}{20} $.

$ \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{20} = \frac{4 \cdot 21}{7 \cdot 20} $.

Сократим дроби перед умножением для упрощения вычислений: 4 и 20 сокращаются на 4, а 21 и 7 сокращаются на 7.

$ \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{21}^3}{\cancel{20}_5} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5} $.

В результате получаем $ y^{\frac{3}{5}} $.

Ответ: $ y^{\frac{3}{5}} $

391. а) $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$;

б) $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$;

в) $(3a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$;

г) $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$.

а) Чтобы упростить выражение $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$, мы используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$. Применим эти правила к каждому множителю в скобках:

$(ab^{\frac{1}{2}})^{-2} = (a^1)^{-2} \cdot (b^{\frac{1}{2}})^{-2} = a^{1 \cdot (-2)} \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = a^{-2}b^{-1}$.

Далее, используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, преобразуем выражение:

$a^{-2}b^{-1} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{1}{a^2b}$.

Ответ: $\frac{1}{a^2b}$.

б) Упростим выражение $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$. Применим свойство возведения произведения в степень:

$(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1} = (x^{\frac{1}{3}})^{-1} \cdot y^{-1}$.

Теперь используем свойство возведения степени в степень:

$(x^{\frac{1}{3}})^{-1} \cdot y^{-1} = x^{\frac{1}{3} \cdot (-1)} \cdot y^{-1} = x^{-\frac{1}{3}}y^{-1}$.

Перепишем выражение, используя положительные показатели степеней:

$x^{-\frac{1}{3}}y^{-1} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}y}$.

Ответ: $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}y}$.

в) Рассмотрим выражение $(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $\frac{1}{2}$:

$(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$.

Перемножим показатели степеней для каждого основания:

$3^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{2}{6}}$.

Сократим дробь в показателе степени у $b$:

$b^{\frac{2}{6}} = b^{\frac{1}{3}}$.

Итоговое выражение:

$3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{3}}$.

г) Упростим выражение $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $\frac{3}{4}$:

$(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot (x^{\frac{4}{5}})^{\frac{3}{4}} \cdot (y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$.

Перемножим показатели степеней для каждого основания:

$2^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{12}{20}} y^{\frac{3}{24}}$.

Сократим дроби в показателях степеней:

$x^{\frac{12}{20}} = x^{\frac{3}{5}}$

$y^{\frac{3}{24}} = y^{\frac{1}{8}}$

Таким образом, получаем:

$2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{5}} y^{\frac{1}{8}}$.

Ответ: $2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{5}} y^{\frac{1}{8}}$.

392. Вычислите:

a) $(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}});$

б) $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}}).$

а) $(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})$
Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Заметим, что $\sqrt[4]{9^{-1}} = (9^{-1})^{\frac{1}{4}} = 9^{-\frac{1}{4}}$.
Следовательно, выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 9^{-\frac{1}{4}}$ и $b = (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$.
Применив формулу, получаем:
$(9^{-\frac{1}{4}})^2 - ((2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})^2 = 9^{-\frac{1}{4} \cdot 2} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3} \cdot 2} = 9^{-\frac{1}{2}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}}$
Теперь вычислим значение каждого члена:
$9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.
Для второго члена сначала упростим основание $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
Тогда $(2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

б) $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}})$
Это выражение также является произведением суммы и разности. Проверим, равны ли вторые слагаемые в скобках: $\sqrt[4]{81^{-1}} = (81^{-1})^{\frac{1}{4}} = 81^{-\frac{1}{4}}$.
Так как они равны, мы можем применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = (5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}}$ и $b = 81^{-\frac{1}{4}}$.
Получаем:
$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}})^2 - (81^{-\frac{1}{4}})^2 = (5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3} \cdot 2} - 81^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = (5\sqrt{5})^{-\frac{4}{3}} - 81^{-\frac{1}{2}}$
Вычислим значение каждого члена:
Для первого члена упростим основание $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Тогда $(5\sqrt{5})^{-\frac{4}{3}} = (5^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Второй член: $81^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{81^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{81}} = \frac{1}{9}$.
Теперь найдем разность:
$\frac{1}{25} - \frac{1}{9} = \frac{9-25}{225} = -\frac{16}{225}$.
Ответ: $-\frac{16}{225}$.

Упростите выражение (393–394):

393. а) $x^{1/2}y^{1/2}(x^{1/2} - y^{1/2});$

б) $(a^{1/2} - 1)(a^{1/2} + 1);$

в) $(x^{1/2} - y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2});$

г) $(m^{1/2} + 3)(m^{1/2} - 3).$

а) Чтобы упростить выражение $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$, мы используем распределительный закон умножения. Умножим множитель $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ на каждый член в скобках:

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Для первого члена: $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}) \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^1 \cdot y^{\frac{1}{2}} = xy^{\frac{1}{2}}$.

Для второго члена: $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot (y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot y^1 = x^{\frac{1}{2}}y$.

Соединив упрощенные члены, получаем итоговое выражение:

$xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$

б) Выражение $(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения используем формулу сокращенного умножения, известную как разность квадратов: $(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$.

В нашем случае $p = a^{\frac{1}{2}}$ и $q = 1$.

Возведем в квадрат каждый член, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$p^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$

$q^2 = 1^2 = 1$

Применяя формулу, получаем:

$a - 1$

Ответ: $a - 1$

в) Выражение $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$ также представляет собой произведение разности и суммы. Используем ту же формулу разности квадратов: $(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$.

Здесь $p = x^{\frac{1}{2}}$ и $q = y^{\frac{1}{2}}$.

Возводим в квадрат каждый член:

$p^2 = (x^{\frac{1}{2}})^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^1 = x$

$q^2 = (y^{\frac{1}{2}})^2 = y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^1 = y$

Результат упрощения:

$x - y$

Ответ: $x - y$

г) Выражение $(m^{\frac{1}{2}} + 3)(m^{\frac{1}{2}} - 3)$ является произведением суммы и разности. Снова применяем формулу разности квадратов: $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Здесь $p = m^{\frac{1}{2}}$ и $q = 3$.

Возводим в квадрат каждый член:

$p^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^1 = m$

$q^2 = 3^2 = 9$

Подставляем в формулу и получаем:

$m - 9$

Ответ: $m - 9$

394. а) $(2x^{1/2} - y^{1/3})(y^{1/3} + 2x^{1/2});$

б) $(3m^{1/4} - n^{1/4})(n^{1/4} + 3m^{1/4});$

в) $(x^{1/6} - 5)(x^{1/6} + 5);$

г) $(3^{1/5} - x^{2/3})(3^{1/5} + x^{2/3}).$

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращённого умножения — разностью квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(2x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{3}})(y^{\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{1}{2}})$.
Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы: $(y^{\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{1}{2}}) = (2x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$.
Теперь выражение выглядит так: $(2x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$.
В данном случае $a = 2x^{\frac{1}{2}}$ и $b = y^{\frac{1}{3}}$.
Применяем формулу разности квадратов:
$a^2 - b^2 = (2x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 \cdot (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = 4 \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y^{\frac{1}{3} \cdot 2} = 4x^1 - y^{\frac{2}{3}} = 4x - y^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $4x - y^{\frac{2}{3}}$.

б)

Это выражение также упрощается с помощью формулы разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(3m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(n^{\frac{1}{4}} + 3m^{\frac{1}{4}})$.
Приведем вторую скобку к виду $(a+b)$: $(n^{\frac{1}{4}} + 3m^{\frac{1}{4}}) = (3m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}})$.
Выражение принимает вид: $(3m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(3m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}})$.
Здесь $a = 3m^{\frac{1}{4}}$ и $b = n^{\frac{1}{4}}$.
Применяем формулу:
$a^2 - b^2 = (3m^{\frac{1}{4}})^2 - (n^{\frac{1}{4}})^2 = 3^2 \cdot (m^{\frac{1}{4}})^2 - (n^{\frac{1}{4}})^2 = 9 \cdot m^{\frac{1}{4} \cdot 2} - n^{\frac{1}{4} \cdot 2} = 9m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = 9m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $9m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}$.

в)

Используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(x^{\frac{1}{6}} - 5)(x^{\frac{1}{6}} + 5)$.
Выражение уже представлено в нужном виде.
Здесь $a = x^{\frac{1}{6}}$ и $b = 5$.
Применяем формулу:
$a^2 - b^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 - 5^2 = x^{\frac{1}{6} \cdot 2} - 25 = x^{\frac{2}{6}} - 25 = x^{\frac{1}{3}} - 25$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 25$.

г)

Снова применяем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(3^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{2}{3}})(3^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{2}{3}})$.
Выражение уже представлено в нужном виде.
Здесь $a = 3^{\frac{1}{5}}$ и $b = x^{\frac{2}{3}}$.
Применяем формулу:
$a^2 - b^2 = (3^{\frac{1}{5}})^2 - (x^{\frac{2}{3}})^2 = 3^{\frac{1}{5} \cdot 2} - x^{\frac{2}{3} \cdot 2} = 3^{\frac{2}{5}} - x^{\frac{4}{3}}$.
Ответ: $3^{\frac{2}{5}} - x^{\frac{4}{3}}$.

Разложите на множители (395–396):

395. а) $a - 1$;

б) $b - 3$;

в) $x - y$;

г) $5 - m$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $a - 1$, представим его как разность квадратов. При условии, что $a \ge 0$, мы можем записать $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $1$ как $1^2$. Затем, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:
$a - 1 = (\sqrt{a})^2 - 1^2 = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)$.

б) Для разложения на множители выражения $b - 3$ представим его в виде разности квадратов, при условии, что $b \ge 0$. Запишем $b = (\sqrt{b})^2$ и $3 = (\sqrt{3})^2$. Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:
$b - 3 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{3})(\sqrt{b} + \sqrt{3})$.
Ответ: $(\sqrt{b} - \sqrt{3})(\sqrt{b} + \sqrt{3})$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $x - y$, представим его как разность квадратов. Это возможно, если $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Запишем $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, имеем:
$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.
Ответ: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

г) Для разложения на множители выражения $5 - m$ представим его как разность квадратов, при условии, что $m \ge 0$. Запишем $5 = (\sqrt{5})^2$ и $m = (\sqrt{m})^2$. Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получим:
$5 - m = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{m})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{m})(\sqrt{5} + \sqrt{m})$.
Ответ: $(\sqrt{5} - \sqrt{m})(\sqrt{5} + \sqrt{m})$.

396. a) $4a - b^{\frac{1}{2}};$

б) $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}};$

в) $x^3 - \sqrt{y};$

г) $\sqrt{x} - \sqrt{y}.$

Например:

$\sqrt{a} - b = a^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}).$

а) Для того чтобы разложить выражение $4a - b^{\frac{1}{2}}$ на множители, воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Для этого представим каждый член исходного выражения в виде квадрата. Первый член: $4a = (2\sqrt{a})^2 = (2a^{\frac{1}{2}})^2$. Второй член: $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$. Таким образом, выражение принимает вид: $4a - b^{\frac{1}{2}} = (2a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$. Применяя формулу разности квадратов, где $A=2a^{\frac{1}{2}}$ и $B=b^{\frac{1}{4}}$, получаем искомое разложение.
Ответ: $(2a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{4}})(2a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{4}})$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$, применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим каждый член в виде квадрата: $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2$ и $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{4}})^2$. Исходное выражение можно переписать как $(a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2$. Применив формулу, где $A=a^{\frac{1}{4}}$ и $B=b^{\frac{1}{4}}$, получим итоговый результат.
Ответ: $(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})$.

в) Разложим на множители выражение $x^3 - \sqrt{y}$. Сначала запишем корень в виде степени: $x^3 - y^{\frac{1}{2}}$. Теперь, как и в предыдущих примерах, представим выражение в виде разности квадратов. Для этого запишем каждый член как квадрат: $x^3 = (x^{\frac{3}{2}})^2$ и $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2$. Таким образом, получаем: $(x^{\frac{3}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{4}})^2$. Применяя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A=x^{\frac{3}{2}}$ и $B=y^{\frac{1}{4}}$, находим решение.
Ответ: $(x^{\frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{1}{4}})$.

г) Разложим на множители выражение $\sqrt{x} - \sqrt{y}$. Сначала перепишем его с использованием степеней: $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$. Это выражение полностью аналогично примеру из пункта б). Представим каждый член в виде квадрата: $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2$ и $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2$. Выражение принимает вид разности квадратов: $(x^{\frac{1}{4}})^2 - (y^{\frac{1}{4}})^2$. Используя формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A=x^{\frac{1}{4}}$ и $B=y^{\frac{1}{4}}$, получаем разложение.
Ответ: $(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})$.

Представьте в виде суммы (397–399):

397. а) $(a^{\frac{1}{2}}+\sqrt{b})^2$;

б) $(x^{\frac{1}{3}}-y)^2$;

в) $(m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}})^2$;

г) $(c^{\frac{1}{6}}-d^{\frac{1}{2}})^2$.

а) Для того чтобы представить выражение $(a^{\frac{1}{2}} + \sqrt{b})^2$ в виде суммы, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Заметим, что $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$. Тогда:
$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2$.
Применяя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.
Ответ: $a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

б) Чтобы представить выражение $(x^{\frac{1}{3}} - y)^2$ в виде суммы, применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В этом случае $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = y$.
$(x^{\frac{1}{3}} - y)^2 = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y + y^2$.
Упростим первый член, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$:
$x^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 2x^{\frac{1}{3}}y + y^2 = x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y + y^2$.
Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y + y^2$.

в) Чтобы представить выражение $(m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{2}})^2$ в виде суммы, используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = m^{\frac{1}{3}}$ и $b = n^{\frac{1}{2}}$.
$(m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2$.
Упростим первый и последний члены по свойству $(x^m)^n = x^{mn}$:
$m^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^{\frac{2}{3}} - 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{2}} + n$.
Ответ: $m^{\frac{2}{3}} - 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{2}} + n$.

г) Чтобы представить выражение $(c^{\frac{1}{6}} - d^{\frac{1}{2}})^2$ в виде суммы, применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = c^{\frac{1}{6}}$ и $b = d^{\frac{1}{2}}$.
$(c^{\frac{1}{6}} - d^{\frac{1}{2}})^2 = (c^{\frac{1}{6}})^2 - 2 \cdot c^{\frac{1}{6}} \cdot d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2$.
Упростим крайние члены, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$:
$c^{\frac{1}{6} \cdot 2} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2} \cdot 2} = c^{\frac{2}{6}} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d = c^{\frac{1}{3}} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d$.
Ответ: $c^{\frac{1}{3}} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d$.

398. а) $(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1)(x^{\frac{1}{3}} - 1)$;

б) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

а) Чтобы упростить выражение $(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1)(x^{\frac{1}{3}} - 1)$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
В данном случае можно сделать замену: пусть $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 1$. Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{3}})^2 = x^{\frac{2}{3}}$.
Выражение можно переписать в виде:
$(x^{\frac{1}{3}} - 1)((x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^2)$
Применив формулу, получаем:
$(x^{\frac{1}{3}})^3 - 1^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1 = x^1 - 1 = x - 1$.
Ответ: $x - 1$

б) Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
В данном случае сделаем замену: пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^2 = a^{\frac{2}{3}}$ и $y^2 = b^{\frac{2}{3}}$.
Выражение примет вид:
$(x + y)(x^2 - xy + y^2)$
Это соответствует формуле суммы кубов, поэтому результат равен $x^3 + y^3$.
Выполним обратную замену:
$(a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} + b^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 + b^1 = a + b$.
Ответ: $a + b$

399. a) $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{2}})^3$;

б) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{3}})^3$;

в) $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{3}})^3$.

а) Для раскрытия скобок в выражении $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{2}})^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.
В данном случае $A = x^{\frac{1}{3}}$ и $B = y^{\frac{1}{2}}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{2}})^3 = (x^{\frac{1}{3}})^3 - 3(x^{\frac{1}{3}})^2(y^{\frac{1}{2}}) + 3(x^{\frac{1}{3}})(y^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^3$.
Теперь упростим каждый член выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
Первый член: $(x^{\frac{1}{3}})^3 = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 = x$.
Второй член: $3(x^{\frac{1}{3}})^2(y^{\frac{1}{2}}) = 3x^{\frac{1}{3} \cdot 2}y^{\frac{1}{2}} = 3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{2}}$.
Третий член: $3(x^{\frac{1}{3}})(y^{\frac{1}{2}})^2 = 3x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3x^{\frac{1}{3}}y^1 = 3x^{\frac{1}{3}}y$.
Четвертый член: $(y^{\frac{1}{2}})^3 = y^{\frac{1}{2} \cdot 3} = y^{\frac{3}{2}}$.
Соберем все члены вместе и получим окончательный результат:
$x - 3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{3}}y - y^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $x - 3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{3}}y - y^{\frac{3}{2}}$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{3}})^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.
В данном случае $A = m^{\frac{1}{2}}$ и $B = n^{\frac{2}{3}}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{3}})^3 = (m^{\frac{1}{2}})^3 + 3(m^{\frac{1}{2}})^2(n^{\frac{2}{3}}) + 3(m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{2}{3}})^2 + (n^{\frac{2}{3}})^3$.
Упростим каждый член выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
Первый член: $(m^{\frac{1}{2}})^3 = m^{\frac{1}{2} \cdot 3} = m^{\frac{3}{2}}$.
Второй член: $3(m^{\frac{1}{2}})^2(n^{\frac{2}{3}}) = 3m^{\frac{1}{2} \cdot 2}n^{\frac{2}{3}} = 3m^1n^{\frac{2}{3}} = 3mn^{\frac{2}{3}}$.
Третий член: $3(m^{\frac{1}{2}})(n^{\frac{2}{3}})^2 = 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{2}{3} \cdot 2} = 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{4}{3}}$.
Четвертый член: $(n^{\frac{2}{3}})^3 = n^{\frac{2}{3} \cdot 3} = n^2$.
Соберем все члены вместе и получим окончательный результат:
$m^{\frac{3}{2}} + 3mn^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{4}{3}} + n^2$.
Ответ: $m^{\frac{3}{2}} + 3mn^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{4}{3}} + n^2$.

в) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{3}})^3$ воспользуемся формулой куба разности: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.
В данном случае $A = a^{\frac{1}{2}}$ и $B = b^{\frac{1}{3}}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{2}})^3 - 3(a^{\frac{1}{2}})^2(b^{\frac{1}{3}}) + 3(a^{\frac{1}{2}})(b^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Упростим каждый член выражения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
Первый член: $(a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{1}{2} \cdot 3} = a^{\frac{3}{2}}$.
Второй член: $3(a^{\frac{1}{2}})^2(b^{\frac{1}{3}}) = 3a^{\frac{1}{2} \cdot 2}b^{\frac{1}{3}} = 3a^1b^{\frac{1}{3}} = 3ab^{\frac{1}{3}}$.
Третий член: $3(a^{\frac{1}{2}})(b^{\frac{1}{3}})^2 = 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}}$.
Четвертый член: $(b^{\frac{1}{3}})^3 = b^{\frac{1}{3} \cdot 3} = b^1 = b$.
Соберем все члены вместе и получим окончательный результат:
$a^{\frac{3}{2}} - 3ab^{\frac{1}{3}} + 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}} - b$.
Ответ: $a^{\frac{3}{2}} - 3ab^{\frac{1}{3}} + 3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}} - b$.

Сократите дробь (400-401):

400. а) $\frac{a - \sqrt{a}}{2\sqrt{a} - 2}$;

б) $\frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{3x^{\frac{1}{2}} + 3}$;

в) $\frac{(ab)^{\frac{1}{2}} - a}{\sqrt{a}}$;

г) $\frac{\sqrt{2x}}{(2xy)^{\frac{1}{2}} + 2x}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a - \sqrt{a}}{2\sqrt{a} - 2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения: $a \ge 0$, чтобы корень был определен, и $2\sqrt{a} - 2 \neq 0$, чтобы знаменатель не был равен нулю, откуда $\sqrt{a} \neq 1$, то есть $a \neq 1$.
Преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{a}$:
$a - \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель 2:
$2\sqrt{a} - 2 = 2(\sqrt{a} - 1)$.
Теперь наша дробь имеет вид:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}{2(\sqrt{a} - 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a} - 1)$, так как из ОДЗ мы знаем, что он не равен нулю.
Получаем: $\frac{\sqrt{a}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{2}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{3x^{\frac{1}{2}} + 3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
ОДЗ: $x \ge 0$. Знаменатель $3\sqrt{x} + 3$ всегда больше или равен 3, поэтому он никогда не равен нулю.
Преобразуем числитель, представив $x$ как $(x^{\frac{1}{2}})^2$ и вынеся за скобки общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$:
$x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{2}})^2 = x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3:
$3x^{\frac{1}{2}} + 3 = 3(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.
Теперь дробь выглядит так:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})}{3(1 + x^{\frac{1}{2}})}$.
Сокращаем общий множитель $(1 + x^{\frac{1}{2}})$.
Получаем: $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$.
Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{(ab)^{\frac{1}{2}} - a}{\sqrt{a}}$, преобразуем числитель.
ОДЗ: $a > 0$, так как $a$ находится в знаменателе под корнем, и $ab \ge 0$. Поскольку $a > 0$, это означает, что $b \ge 0$.
Преобразуем числитель, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$ и вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{a}$:
$(ab)^{\frac{1}{2}} - a = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - a = \sqrt{a}\sqrt{b} - (\sqrt{a})^2 = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})$.
Подставим преобразованный числитель в дробь:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{a}}$.
Сокращаем общий множитель $\sqrt{a}$ (он не равен нулю, так как $a>0$).
Получаем: $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{2x}}{(2xy)^{\frac{1}{2}} + 2x}$, разложим знаменатель на множители.
ОДЗ: $2x > 0$ (чтобы корень в числителе был определен и знаменатель не был равен нулю) и $2xy \ge 0$. Из $x>0$ следует, что $y \ge 0$.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $\sqrt{2x}$:
$(2xy)^{\frac{1}{2}} + 2x = \sqrt{2xy} + 2x = \sqrt{2x}\sqrt{y} + (\sqrt{2x})^2 = \sqrt{2x}(\sqrt{y} + \sqrt{2x})$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}(\sqrt{y} + \sqrt{2x})}$.
Сокращаем общий множитель $\sqrt{2x}$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{2x}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{2x}}$.

401. a) $ \frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $;

б) $ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $;

в) $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} $;

г) $ \frac{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $.

а)

Исходное выражение: $ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $.

Числитель $a-b$ можно представить как разность квадратов, если заметить, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Таким образом, $ a-b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:

$ (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne b$):

$ a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$.

б)

Исходное выражение: $ \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $.

Числитель $x-y$ можно представить как разность квадратов, так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$.

Используем формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$:

$ x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $.

Подставим разложенный числитель в исходную дробь:

$ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $.

Сократим общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ (при условии, что $x, y \ge 0$ и они не равны нулю одновременно):

$ \sqrt{x} - \sqrt{y} $.

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$.

в)

Исходное выражение: $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} $.

Для удобства преобразуем все члены в вид степеней с дробными показателями: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$ и $\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}$.

Выражение принимает вид: $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}}} $.

Заметим, что числитель можно представить как разность квадратов, так как $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2$ и $y = (y^{\frac{1}{2}})^2$.

Применим формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$ к числителю:

$ x^{\frac{1}{2}} - y = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) $.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$ \frac{(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}})$ (при условии, что $x^{\frac{1}{4}} \ne y^{\frac{1}{2}}$):

$ x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}} $.

Запишем ответ, используя корни:

$ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} $.

Ответ: $\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}$.

г)

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} $.

Представим все корни в виде степеней с дробными показателями: $\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{6}}$, $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$.

Выражение принимает вид: $ \frac{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $.

Чтобы найти общий множитель, представим знаменатель через степени с показателем $\frac{1}{6}$. Заметим, что $a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^2$ и $b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{2}{6}} = (b^{\frac{1}{6}})^2$.

Теперь знаменатель можно представить как разность квадратов:

$ a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = (a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) $.

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}{(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})} $.

Сокращаем общий множитель $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})$ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{1}{a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}} $.

Запишем ответ, используя корни:

$ \frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} $.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}$.