Страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

379. Может ли быть отрицательным числом степень с рациональным показателем положительного числа?

Рассмотрим степень с рациональным показателем $a^r$, где основание $a$ — положительное число ($a > 0$), а показатель $r$ — рациональное число.

Любое рациональное число $r$ можно представить в виде дроби $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$, $q \ge 1$). По определению, для $a>0$:

$a^r = a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Проанализируем значение этого выражения. Сначала рассмотрим выражение $a^p$. Так как основание $a$ положительно ($a > 0$), то его степень с любым целым показателем $p$ также будет положительной. Если $p$ — положительное число, то $a^p$ — это произведение положительных чисел, и результат положителен. Если $p=0$, то $a^0=1$, что положительно. Если $p$ — отрицательное число (например, $p=-k$ для $k>0$), то $a^p = a^{-k} = \frac{1}{a^k}$. Так как $a^k$ положительно, то и $\frac{1}{a^k}$ положительно. Следовательно, выражение $a^p$ всегда положительно.

Теперь рассмотрим всю конструкцию $\sqrt[q]{a^p}$. Мы извлекаем корень натуральной степени $q$ из положительного числа $a^p$. По определению, арифметический корень $q$-й степени из положительного числа — это всегда положительное число. Это такое положительное число $y$, что $y^q = a^p$.

Таким образом, результат возведения положительного числа в любую рациональную степень всегда является положительным числом. Он не может быть ни отрицательным, ни равным нулю.

Ответ: нет.

380. По какому правилу: а) умножают; б) делят степени с рациональным показателем одного и того же положительного числа?

а)

Умножение степеней с рациональным показателем и одинаковым положительным основанием происходит по тому же правилу, что и для степеней с целыми показателями.

Правило: Чтобы умножить степени с одинаковым положительным основанием, нужно основание оставить без изменения, а показатели степеней сложить.

Для любого положительного числа $a$ и любых рациональных чисел $p$ и $q$ это правило выражается формулой:

$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$

Например:
$5^{1/2} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/2 + 1/3} = 5^{3/6 + 2/6} = 5^{5/6}$

Ответ: Чтобы умножить степени с рациональным показателем одного и того же положительного числа, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

б)

Деление степеней с рациональным показателем и одинаковым положительным основанием также происходит по правилу, аналогичному правилу для степеней с целыми показателями.

Правило: Чтобы разделить степени с одинаковым положительным основанием, нужно основание оставить без изменения, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Для любого положительного числа $a$ и любых рациональных чисел $p$ и $q$ это правило выражается формулой:

$a^p : a^q = a^{p-q}$

Например:
$10^{5/6} : 10^{1/3} = 10^{5/6 - 1/3} = 10^{5/6 - 2/6} = 10^{3/6} = 10^{1/2}$

Ответ: Чтобы разделить степени с рациональным показателем одного и того же положительного числа, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

381. По какому правилу возводят в степень с рациональным показателем степень положительного числа?

Чтобы возвести положительное число a в степень с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное число ($n \ge 2$), необходимо извлечь корень $n$-й степени из числа $a$, предварительно возведенного в степень $m$.

Это правило определяется следующей формулой (по определению):

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

В этой формуле:
- $a$ – основание степени, которое должно быть положительным числом ($a > 0$).
- $m$ – числитель дроби в показателе степени; он становится показателем степени подкоренного выражения ($m$ – любое целое число, $m \in \mathbb{Z}$).
- $n$ – знаменатель дроби в показателе степени; он становится показателем корня ($n$ – натуральное число, $n \ge 2$, $n \in \mathbb{N}$).

Ограничение $a > 0$ является существенным, так как корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел, и это обеспечивает однозначность результата.

Также существует эквивалентная форма этого правила, которая часто бывает удобнее для вычислений. Можно сначала извлечь корень из основания, а затем возвести полученный результат в степень:

$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$

Пример

Вычислим значение выражения $8^{\frac{2}{3}}$.

Способ 1 (по определению):
$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Способ 2 (эквивалентный):
$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Как видно, оба способа приводят к одному и тому же результату, но второй способ часто требует работы с меньшими числами.

Ответ: Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $\frac{m}{n}$ (где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется корень $n$-й степени из числа $a$ в степени $m$. Это записывается формулой: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

382. Чему равна степень с рациональным показателем:

а) произведения положительных чисел;

б) частного положительных чисел?

а) произведения положительных чисел;

Степень с рациональным показателем от произведения положительных чисел равна произведению степеней этих чисел с тем же показателем.

Это свойство можно записать в виде формулы. Для любых положительных чисел $a$ и $b$ и любого рационального числа $r$ справедливо равенство:

$(ab)^r = a^r b^r$

Таким образом, чтобы возвести произведение в рациональную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель отдельно и затем перемножить полученные результаты.

Ответ: Степень произведения положительных чисел с рациональным показателем равна произведению степеней этих чисел с тем же показателем.

б) частного положительных чисел?

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному от деления степени делимого на степень делителя с тем же показателем.

Это свойство можно записать в виде формулы. Для любых положительных чисел $a$ и $b$ и любого рационального числа $r$ справедливо равенство:

$(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}$

Таким образом, чтобы возвести частное (дробь) в рациональную степень, необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить первый результат на второй.

Ответ: Степень частного положительных чисел с рациональным показателем равна частному степеней делимого и делителя с тем же показателем.

383. Запишите выражение в виде произведения степеней с рациональным показателем:

a) $ \sqrt{10} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[3]{2^2}} $

б) $ \sqrt{7^3} \cdot \sqrt[4]{2^3} \cdot \frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[6]{5^5}} $

в) $ \sqrt{3} : \sqrt[3]{2} \cdot \frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}} $

г) $ \sqrt{8^3} \cdot \sqrt[5]{7^3} : \frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[5]{49^2}} $

а) $\sqrt{10} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[3]{2^2}}$

Чтобы записать выражение в виде произведения степеней, сначала представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем по формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Также разложим составные числа (10) на простые множители.
$\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}} = (2 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}}$
$\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$
Подставив в исходное выражение, получим:
$(2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{2}{3}}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$
Вычислим показатели:
$2^{\frac{3-4}{6}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3+2}{6}} = 2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{5}{6}}$

Ответ: $2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{5}{6}}$

б) $\sqrt{7^3} \cdot \sqrt[4]{2^3} \cdot \frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[6]{5^5}}$

Представим каждый член выражения в виде степени с рациональным показателем. Разложим основание 6 на простые множители $2 \cdot 3$.
$\sqrt{7^3} = 7^{\frac{3}{2}}$
$\sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}$
$\sqrt[5]{6^2} = 6^{\frac{2}{5}} = (2 \cdot 3)^{\frac{2}{5}} = 2^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}$
$\sqrt[6]{5^5} = 5^{\frac{5}{6}}$
Запишем все выражение в виде произведения степеней:
$7^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot \frac{2^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}}{5^{\frac{5}{6}}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(2^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{5}}) \cdot 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{-\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}$
Сложим показатели у степеней с основанием 2:
$2^{\frac{3}{4} + \frac{2}{5}} = 2^{\frac{15+8}{20}} = 2^{\frac{23}{20}}$
Итоговое выражение:
$2^{\frac{23}{20}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{-\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $2^{\frac{23}{20}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{-\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}$

в) $\sqrt{3} : \sqrt[3]{2} \cdot \frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}}$

Запишем выражение в виде дроби, учитывая порядок действий (деление на $\sqrt[3]{2}$):
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}}$
Переведем корни в степени с рациональными показателями и разложим $8$ как $2^3$:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[4]{8^3} = 8^{\frac{3}{4}} = (2^3)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{9}{4}}$
$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$
Подставим в выражение:
$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2^{\frac{9}{4}}}{3^{\frac{1}{3}}}$
Сгруппируем степени по основаниям и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{\frac{9}{4} - \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$
Вычислим показатели:
Для основания 2: $\frac{9}{4} - \frac{1}{3} = \frac{27-4}{12} = \frac{23}{12}$.
Для основания 3: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.
Получаем произведение:
$2^{\frac{23}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $2^{\frac{23}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

г) $\sqrt{8^3} \cdot \sqrt[5]{7^3} : \frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[5]{49^2}}$

Деление на дробь заменяем умножением на перевернутую (обратную) дробь:
$\sqrt{8^3} \cdot \sqrt[5]{7^3} \cdot \frac{\sqrt[5]{49^2}}{\sqrt[3]{4^2}}$
Перейдем к степеням с рациональными показателями и разложим основания на простые множители: $8=2^3$, $4=2^2$, $49=7^2$.
$\sqrt{8^3} = 8^{\frac{3}{2}} = (2^3)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$
$\sqrt[5]{7^3} = 7^{\frac{3}{5}}$
$\sqrt[5]{49^2} = 49^{\frac{2}{5}} = (7^2)^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{4}{5}}$
$\sqrt[3]{4^2} = 4^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$
Подставим преобразованные выражения:
$2^{\frac{9}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{5}} \cdot \frac{7^{\frac{4}{5}}}{2^{\frac{4}{3}}}$
Сгруппируем степени по основаниям и применим свойства степеней:
$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{2^{\frac{4}{3}}} \cdot (7^{\frac{3}{5}} \cdot 7^{\frac{4}{5}}) = 2^{\frac{9}{2} - \frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}$
Вычислим показатели:
Для основания 2: $\frac{9}{2} - \frac{4}{3} = \frac{27-8}{6} = \frac{19}{6}$.
Для основания 7: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.
Итоговое выражение:
$2^{\frac{19}{6}} \cdot 7^{\frac{7}{5}}$

Ответ: $2^{\frac{19}{6}} \cdot 7^{\frac{7}{5}}$

384. Вычислите:

а) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}};$

б) $(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{9}} \cdot 6^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}};$

в) $(3^{1.5} - 2^{1.5})(3^{1.5} + 2^{1.5});$

г) $(2^{2.5} - 3^{1.5})(2^{2.5} + 3^{1.5});$

д) $(5^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}})(5^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{2}{3}});$

е) $(3^{\frac{2}{3}} + 7^{\frac{1}{3}})(9^{\frac{2}{3}} - 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} + 49^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}}.$

а) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}$

Для решения данного примера представим все основания степеней через число 2:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$8 = 2^3$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(2^{-1})^{\frac{1}{2}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-1 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^1 \cdot 2^{-\frac{1}{2}}$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2}} = 2^{-1 + 1} = 2^0$

Любое число в нулевой степени равно 1.

$2^0 = 1$

Ответ: 1

б) $(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{9}} \cdot 6^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Представим основания степеней через их простые множители (2 и 3):

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим эти значения в выражение:

$(3^{-3})^{-\frac{1}{9}} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:

$3^{(-3) \cdot (-\frac{1}{9})} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{9}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}) \cdot (3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}})$

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = 2^0 \cdot 3^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}} = 1 \cdot 3^{\frac{6}{6}} = 1 \cdot 3^1 = 3$

Ответ: 3

в) $(3^{1,5} - 2^{1,5})(3^{1,5} + 2^{1,5})$

Данное выражение является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 3^{1,5}$ и $b = 2^{1,5}$.

Применим формулу:

$(3^{1,5})^2 - (2^{1,5})^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{1,5 \cdot 2} - 2^{1,5 \cdot 2} = 3^3 - 2^3$

Вычислим значения:

$27 - 8 = 19$

Ответ: 19

г) $(2^{2,5} - 3^{1,5})(2^{2,5} + 3^{1,5})$

Это выражение также является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = 2^{2,5}$ и $b = 3^{1,5}$.

Применим формулу:

$(2^{2,5})^2 - (3^{1,5})^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{2,5 \cdot 2} - 3^{1,5 \cdot 2} = 2^5 - 3^3$

Вычислим значения:

$32 - 27 = 5$

Ответ: 5

д) $(5^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}})(5^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{2}{3}})$

Данное выражение соответствует формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Проверим, соответствуют ли члены выражения этой формуле. Пусть $a = 5^{\frac{1}{3}}$ и $b = 2^{\frac{2}{3}}$.

$a^2 = (5^{\frac{1}{3}})^2 = 5^{\frac{2}{3}}$

$ab = 5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

$b^2 = (2^{\frac{2}{3}})^2 = 2^{\frac{4}{3}}$. Представим $4^{\frac{2}{3}}$ в виде степени с основанием 2: $4^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$.

Все члены соответствуют формуле. Применим ее:

$a^3 - b^3 = (5^{\frac{1}{3}})^3 - (2^{\frac{2}{3}})^3$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 2^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 5^1 - 2^2$

Вычислим результат:

$5 - 4 = 1$

Ответ: 1

е) $((3^{\frac{2}{3}} + 7^{\frac{1}{3}})(9^{\frac{2}{3}} - 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} + 49^{\frac{1}{3}}))^{\frac{3}{4}}$

Рассмотрим выражение внутри внешних скобок. Оно соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.

Проверим соответствие. Пусть $a = 3^{\frac{2}{3}}$ и $b = 7^{\frac{1}{3}}$.

$a^2 = (3^{\frac{2}{3}})^2 = 3^{\frac{4}{3}}$. В выражении это $9^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$.

$ab = 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}}$

$b^2 = (7^{\frac{1}{3}})^2 = 7^{\frac{2}{3}}$. В выражении это $49^{\frac{1}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}$.

Все члены соответствуют, поэтому применяем формулу суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (3^{\frac{2}{3}})^3 + (7^{\frac{1}{3}})^3 = 3^{\frac{2}{3} \cdot 3} + 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^2 + 7^1 = 9 + 7 = 16$

Теперь возведем полученный результат в степень $\frac{3}{4}$:

$(16)^{\frac{3}{4}}$

Представим 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

$(2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3$

Вычислим окончательное значение:

$2^3 = 8$

Ответ: 8

Упростите выражение¹ (385–391):

385. а) $x^{0.5} \cdot x^{0.25}$;

б) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}};$

в) $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0.5};$

г) $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}}$.

а) Чтобы упростить выражение $x^{0,5} \cdot x^{0,25}$, воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается прежним: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном случае основание равно $x$, а показатели степеней — $0,5$ и $0,25$.
Сложим показатели: $0,5 + 0,25 = 0,75$.
Таким образом, получаем: $x^{0,5} \cdot x^{0,25} = x^{0,5+0,25} = x^{0,75}$.
Ответ: $x^{0,75}$.

б) Для упрощения выражения $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$ применяем то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Основание равно $a$, показатели степеней — $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$.
Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю $6$:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$.
Следовательно, выражение равно: $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$.

в) Упростим выражение $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5}$ по правилу умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Основание равно $x$, показатели — $\frac{5}{8}$ и $-0,5$.
Для сложения показателей представим десятичную дробь $-0,5$ в виде обыкновенной дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю $8$:
$\frac{5}{8} + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8} - \frac{4}{8} = \frac{5-4}{8} = \frac{1}{8}$.
Таким образом, получаем: $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5} = x^{\frac{5}{8}-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{8}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{8}}$.

г) В выражении $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}}$ первый множитель $b$ можно представить как степень с показателем $1$, то есть $b^1$.
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание равно $b$, показатели — $1$ и $-1\frac{2}{3}$.
Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$.
Теперь сложим показатели:
$1 + (-\frac{5}{3}) = 1 - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3-5}{3} = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, выражение равно: $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}} = b^{1} \cdot b^{-\frac{5}{3}} = b^{1-\frac{5}{3}} = b^{-\frac{2}{3}}$.
Ответ: $b^{-\frac{2}{3}}$.

386. a) $a^{\frac{3}{5}} \cdot a;$

б) $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{\frac{3}{8}};$

в) $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}};$

г) $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}.$

а) $a^{\frac{3}{5}} \cdot a$

Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно $a$. Показатель степени первого множителя равен $\frac{3}{5}$. Второй множитель $a$ можно представить как $a^1$.

Применяем свойство степеней, складывая показатели:

$a^{\frac{3}{5}} \cdot a^1 = a^{\frac{3}{5} + 1}$

Чтобы сложить дробь и целое число, представим целое число в виде дроби с таким же знаменателем:

$\frac{3}{5} + 1 = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{3+5}{5} = \frac{8}{5}$

Таким образом, выражение равно $a^{\frac{8}{5}}$.

Ответ: $a^{\frac{8}{5}}$.

б) $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}}$

Используем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Складываем показатели степеней:

$a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}} = a^{\frac{3}{8} + (-\frac{3}{8})} = a^{\frac{3}{8} - \frac{3}{8}} = a^0$

Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. Поэтому, при условии, что $a \neq 0$:

$a^0 = 1$

Ответ: $1$.

в) $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}}$

В этом выражении три множителя с одинаковым основанием $y$. Свойство умножения степеней распространяется и на три множителя: $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$.

Складываем показатели степеней:

$y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}}$

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2, 4 и 3 равен 12.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} = \frac{6+3+4}{12} = \frac{13}{12}$

Следовательно, итоговое выражение равно $y^{\frac{13}{12}}$.

Ответ: $y^{\frac{13}{12}}$.

г) $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}$

Аналогично предыдущему примеру, складываем показатели степеней с основанием $z$:

$z^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6}}$

Находим общий знаменатель для дробей $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 4 и 6 равен 12.

Приводим дроби к общему знаменателю и складываем их:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{8+9+10}{12} = \frac{27}{12}$

Полученную дробь $\frac{27}{12}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$\frac{27 \div 3}{12 \div 3} = \frac{9}{4}$

Таким образом, результат равен $z^{\frac{9}{4}}$.

Ответ: $z^{\frac{9}{4}}$.

387. а) $125^{1,5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$;

б) $2^{1,25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$;

в) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$;

г) $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$.

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а) Для вычисления значения выражения $125^{1,5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$ приведем оба основания к степени числа 5. Известно, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставив эти значения в исходное выражение, получим: $(5^3)^{1,5} \cdot (5^2)^{-\frac{3}{4}}$. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и перемножим показатели: $5^{3 \cdot 1,5} \cdot 5^{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = 5^{4,5} \cdot 5^{-\frac{3}{2}}$. Представим десятичную дробь 4,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{9}{2}$. Теперь выражение выглядит как $5^{\frac{9}{2}} \cdot 5^{-\frac{3}{2}}$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели: $5^{\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} = 5^{\frac{6}{2}} = 5^3$. Вычисляя результат, получаем $5^3 = 125$. Ответ: 125

б) Для упрощения выражения $2^{1,25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$ приведем оба основания к степени числа 2. Поскольку $16 = 2^4$, выражение можно переписать как $2^{1,25} \cdot (2^4)^{\frac{1}{16}}$. По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{1,25} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{4}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{1}{4}}$. Преобразуем показатель 1,25 в обыкновенную дробь: $1,25 = \frac{5}{4}$. Тогда выражение примет вид $2^{\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}$. По свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$. Это значение можно также представить в виде корня: $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Ответ: $2^{\frac{3}{2}}$

в) Для упрощения выражения $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$ представим квадратный корень в виде степени с дробным показателем. По определению, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Подставив это в выражение, получаем $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$. Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели степеней: $x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} = x^1 = x$. Ответ: $x$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$. Для его упрощения представим кубический корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Теперь исходное выражение можно записать как $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$. Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим их показатели: $x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$. Для сложения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ приведем их к общему знаменателю 12: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. Таким образом, окончательное выражение равно $x^{\frac{7}{12}}$. Ответ: $x^{\frac{7}{12}}$