Номер 383, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

383. Запишите выражение в виде произведения степеней с рациональным показателем:

a) $ \sqrt{10} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[3]{2^2}} $

б) $ \sqrt{7^3} \cdot \sqrt[4]{2^3} \cdot \frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[6]{5^5}} $

в) $ \sqrt{3} : \sqrt[3]{2} \cdot \frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}} $

г) $ \sqrt{8^3} \cdot \sqrt[5]{7^3} : \frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[5]{49^2}} $

а) $\sqrt{10} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[3]{2^2}}$

Чтобы записать выражение в виде произведения степеней, сначала представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем по формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Также разложим составные числа (10) на простые множители.
$\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}} = (2 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}}$
$\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$
Подставив в исходное выражение, получим:
$(2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{2}{3}}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$
Вычислим показатели:
$2^{\frac{3-4}{6}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3+2}{6}} = 2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{5}{6}}$

Ответ: $2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{5}{6}}$

б) $\sqrt{7^3} \cdot \sqrt[4]{2^3} \cdot \frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[6]{5^5}}$

Представим каждый член выражения в виде степени с рациональным показателем. Разложим основание 6 на простые множители $2 \cdot 3$.
$\sqrt{7^3} = 7^{\frac{3}{2}}$
$\sqrt[4]{2^3} = 2^{\frac{3}{4}}$
$\sqrt[5]{6^2} = 6^{\frac{2}{5}} = (2 \cdot 3)^{\frac{2}{5}} = 2^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}$
$\sqrt[6]{5^5} = 5^{\frac{5}{6}}$
Запишем все выражение в виде произведения степеней:
$7^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot \frac{2^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}}{5^{\frac{5}{6}}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(2^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{5}}) \cdot 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{-\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}$
Сложим показатели у степеней с основанием 2:
$2^{\frac{3}{4} + \frac{2}{5}} = 2^{\frac{15+8}{20}} = 2^{\frac{23}{20}}$
Итоговое выражение:
$2^{\frac{23}{20}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{-\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $2^{\frac{23}{20}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{-\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}$

в) $\sqrt{3} : \sqrt[3]{2} \cdot \frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}}$

Запишем выражение в виде дроби, учитывая порядок действий (деление на $\sqrt[3]{2}$):
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}}$
Переведем корни в степени с рациональными показателями и разложим $8$ как $2^3$:
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt[4]{8^3} = 8^{\frac{3}{4}} = (2^3)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{9}{4}}$
$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$
Подставим в выражение:
$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2^{\frac{9}{4}}}{3^{\frac{1}{3}}}$
Сгруппируем степени по основаниям и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{\frac{9}{4} - \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$
Вычислим показатели:
Для основания 2: $\frac{9}{4} - \frac{1}{3} = \frac{27-4}{12} = \frac{23}{12}$.
Для основания 3: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.
Получаем произведение:
$2^{\frac{23}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $2^{\frac{23}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

г) $\sqrt{8^3} \cdot \sqrt[5]{7^3} : \frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[5]{49^2}}$

Деление на дробь заменяем умножением на перевернутую (обратную) дробь:
$\sqrt{8^3} \cdot \sqrt[5]{7^3} \cdot \frac{\sqrt[5]{49^2}}{\sqrt[3]{4^2}}$
Перейдем к степеням с рациональными показателями и разложим основания на простые множители: $8=2^3$, $4=2^2$, $49=7^2$.
$\sqrt{8^3} = 8^{\frac{3}{2}} = (2^3)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$
$\sqrt[5]{7^3} = 7^{\frac{3}{5}}$
$\sqrt[5]{49^2} = 49^{\frac{2}{5}} = (7^2)^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{4}{5}}$
$\sqrt[3]{4^2} = 4^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$
Подставим преобразованные выражения:
$2^{\frac{9}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{5}} \cdot \frac{7^{\frac{4}{5}}}{2^{\frac{4}{3}}}$
Сгруппируем степени по основаниям и применим свойства степеней:
$\frac{2^{\frac{9}{2}}}{2^{\frac{4}{3}}} \cdot (7^{\frac{3}{5}} \cdot 7^{\frac{4}{5}}) = 2^{\frac{9}{2} - \frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}$
Вычислим показатели:
Для основания 2: $\frac{9}{2} - \frac{4}{3} = \frac{27-8}{6} = \frac{19}{6}$.
Для основания 7: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.
Итоговое выражение:
$2^{\frac{19}{6}} \cdot 7^{\frac{7}{5}}$

Ответ: $2^{\frac{19}{6}} \cdot 7^{\frac{7}{5}}$