Номер 385, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение¹ (385–391):

385. а) $x^{0.5} \cdot x^{0.25}$;

б) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}};$

в) $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0.5};$

г) $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}}$.

а) Чтобы упростить выражение $x^{0,5} \cdot x^{0,25}$, воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается прежним: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном случае основание равно $x$, а показатели степеней — $0,5$ и $0,25$.
Сложим показатели: $0,5 + 0,25 = 0,75$.
Таким образом, получаем: $x^{0,5} \cdot x^{0,25} = x^{0,5+0,25} = x^{0,75}$.
Ответ: $x^{0,75}$.

б) Для упрощения выражения $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$ применяем то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Основание равно $a$, показатели степеней — $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$.
Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю $6$:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$.
Следовательно, выражение равно: $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{5}{6}}$.

в) Упростим выражение $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5}$ по правилу умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Основание равно $x$, показатели — $\frac{5}{8}$ и $-0,5$.
Для сложения показателей представим десятичную дробь $-0,5$ в виде обыкновенной дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю $8$:
$\frac{5}{8} + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8} - \frac{4}{8} = \frac{5-4}{8} = \frac{1}{8}$.
Таким образом, получаем: $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{-0,5} = x^{\frac{5}{8}-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{8}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{8}}$.

г) В выражении $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}}$ первый множитель $b$ можно представить как степень с показателем $1$, то есть $b^1$.
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание равно $b$, показатели — $1$ и $-1\frac{2}{3}$.
Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$.
Теперь сложим показатели:
$1 + (-\frac{5}{3}) = 1 - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3-5}{3} = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, выражение равно: $b \cdot b^{-1\frac{2}{3}} = b^{1} \cdot b^{-\frac{5}{3}} = b^{1-\frac{5}{3}} = b^{-\frac{2}{3}}$.
Ответ: $b^{-\frac{2}{3}}$.