Номер 384, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

384. Вычислите:

а) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}};$

б) $(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{9}} \cdot 6^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}};$

в) $(3^{1.5} - 2^{1.5})(3^{1.5} + 2^{1.5});$

г) $(2^{2.5} - 3^{1.5})(2^{2.5} + 3^{1.5});$

д) $(5^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}})(5^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{2}{3}});$

е) $(3^{\frac{2}{3}} + 7^{\frac{1}{3}})(9^{\frac{2}{3}} - 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} + 49^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}}.$

а) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}$

Для решения данного примера представим все основания степеней через число 2:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$8 = 2^3$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(2^{-1})^{\frac{1}{2}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-1 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^1 \cdot 2^{-\frac{1}{2}}$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2}} = 2^{-1 + 1} = 2^0$

Любое число в нулевой степени равно 1.

$2^0 = 1$

Ответ: 1

б) $(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{9}} \cdot 6^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Представим основания степеней через их простые множители (2 и 3):

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим эти значения в выражение:

$(3^{-3})^{-\frac{1}{9}} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:

$3^{(-3) \cdot (-\frac{1}{9})} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{9}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}) \cdot (3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}})$

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = 2^0 \cdot 3^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}} = 1 \cdot 3^{\frac{6}{6}} = 1 \cdot 3^1 = 3$

Ответ: 3

в) $(3^{1,5} - 2^{1,5})(3^{1,5} + 2^{1,5})$

Данное выражение является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 3^{1,5}$ и $b = 2^{1,5}$.

Применим формулу:

$(3^{1,5})^2 - (2^{1,5})^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{1,5 \cdot 2} - 2^{1,5 \cdot 2} = 3^3 - 2^3$

Вычислим значения:

$27 - 8 = 19$

Ответ: 19

г) $(2^{2,5} - 3^{1,5})(2^{2,5} + 3^{1,5})$

Это выражение также является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = 2^{2,5}$ и $b = 3^{1,5}$.

Применим формулу:

$(2^{2,5})^2 - (3^{1,5})^2$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{2,5 \cdot 2} - 3^{1,5 \cdot 2} = 2^5 - 3^3$

Вычислим значения:

$32 - 27 = 5$

Ответ: 5

д) $(5^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{2}{3}})(5^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{2}{3}})$

Данное выражение соответствует формуле разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Проверим, соответствуют ли члены выражения этой формуле. Пусть $a = 5^{\frac{1}{3}}$ и $b = 2^{\frac{2}{3}}$.

$a^2 = (5^{\frac{1}{3}})^2 = 5^{\frac{2}{3}}$

$ab = 5^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

$b^2 = (2^{\frac{2}{3}})^2 = 2^{\frac{4}{3}}$. Представим $4^{\frac{2}{3}}$ в виде степени с основанием 2: $4^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$.

Все члены соответствуют формуле. Применим ее:

$a^3 - b^3 = (5^{\frac{1}{3}})^3 - (2^{\frac{2}{3}})^3$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 2^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 5^1 - 2^2$

Вычислим результат:

$5 - 4 = 1$

Ответ: 1

е) $((3^{\frac{2}{3}} + 7^{\frac{1}{3}})(9^{\frac{2}{3}} - 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}} + 49^{\frac{1}{3}}))^{\frac{3}{4}}$

Рассмотрим выражение внутри внешних скобок. Оно соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.

Проверим соответствие. Пусть $a = 3^{\frac{2}{3}}$ и $b = 7^{\frac{1}{3}}$.

$a^2 = (3^{\frac{2}{3}})^2 = 3^{\frac{4}{3}}$. В выражении это $9^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$.

$ab = 3^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{3}}$

$b^2 = (7^{\frac{1}{3}})^2 = 7^{\frac{2}{3}}$. В выражении это $49^{\frac{1}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}$.

Все члены соответствуют, поэтому применяем формулу суммы кубов:

$a^3 + b^3 = (3^{\frac{2}{3}})^3 + (7^{\frac{1}{3}})^3 = 3^{\frac{2}{3} \cdot 3} + 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^2 + 7^1 = 9 + 7 = 16$

Теперь возведем полученный результат в степень $\frac{3}{4}$:

$(16)^{\frac{3}{4}}$

Представим 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

$(2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3$

Вычислим окончательное значение:

$2^3 = 8$

Ответ: 8