Номер 381, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

381. По какому правилу возводят в степень с рациональным показателем степень положительного числа?

Чтобы возвести положительное число a в степень с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное число ($n \ge 2$), необходимо извлечь корень $n$-й степени из числа $a$, предварительно возведенного в степень $m$.

Это правило определяется следующей формулой (по определению):

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

В этой формуле:
- $a$ – основание степени, которое должно быть положительным числом ($a > 0$).
- $m$ – числитель дроби в показателе степени; он становится показателем степени подкоренного выражения ($m$ – любое целое число, $m \in \mathbb{Z}$).
- $n$ – знаменатель дроби в показателе степени; он становится показателем корня ($n$ – натуральное число, $n \ge 2$, $n \in \mathbb{N}$).

Ограничение $a > 0$ является существенным, так как корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел, и это обеспечивает однозначность результата.

Также существует эквивалентная форма этого правила, которая часто бывает удобнее для вычислений. Можно сначала извлечь корень из основания, а затем возвести полученный результат в степень:

$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$

Пример

Вычислим значение выражения $8^{\frac{2}{3}}$.

Способ 1 (по определению):
$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Способ 2 (эквивалентный):
$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Как видно, оба способа приводят к одному и тому же результату, но второй способ часто требует работы с меньшими числами.

Ответ: Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $\frac{m}{n}$ (где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется корень $n$-й степени из числа $a$ в степени $m$. Это записывается формулой: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.