Номер 376, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

376. a) $(\frac{2}{7})^{-2} \cdot (\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}};$

б) $(0,01)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6,25)^{-0,5}.$

а) $(\frac{2}{7})^{-2} \cdot (\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}}$

Для решения данного выражения необходимо поочередно вычислить значения каждого множителя, используя свойства степеней.
1. Вычислим первый множитель $(\frac{2}{7})^{-2}$.
Согласно свойству степени с отрицательным показателем $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $, мы можем перевернуть дробь, изменив знак показателя на противоположный:
$(\frac{2}{7})^{-2} = (\frac{7}{2})^{2}$
Теперь возведем дробь в квадрат:
$(\frac{7}{2})^{2} = \frac{7^2}{2^2} = \frac{49}{4}$

2. Вычислим второй множитель $(\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}}$.
Дробная степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:
$(\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$

3. Перемножим полученные результаты:
$\frac{49}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{343}{20}$
Для удобства можно перевести обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{343}{20} = \frac{343 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{1715}{100} = 17,15$
Ответ: 17,15.

б) $(0,01)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6,25)^{-0,5}$

Для решения этого выражения сначала преобразуем десятичные дроби и показатели степени в более удобный вид.
1. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0,01 = \frac{1}{100}$
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{4}$
Также представим десятичный показатель степени в виде дроби:
$-0,5 = -\frac{1}{2}$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{25}{4})^{-\frac{1}{2}}$
Поскольку оба множителя имеют одинаковый показатель степени, мы можем использовать свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратном порядке:
$(\frac{1}{100} \cdot \frac{25}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1 \cdot 25}{100 \cdot 4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{400})^{-\frac{1}{2}}$

3. Сократим дробь внутри скобок:
$\frac{25}{400} = \frac{1}{16}$
Теперь выражение имеет вид:
$(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{2}}$

4. Применим свойства степени. Отрицательный показатель переворачивает дробь, а показатель $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:
$(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{16}{1})^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$
Ответ: 4.