Номер 370, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Запишите в виде степени с рациональным показателем¹ (370–372):

370. а) $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $\sqrt{\frac{4}{3}}$;

б) $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[3]{7}$, $\sqrt[3]{0,1}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{2,5}$;

в) $\sqrt[3]{2^2}$, $\sqrt[4]{3^5}$, $\sqrt[6]{7^5}$, $\sqrt{3^7}$, $\sqrt[5]{2^3}$.

Для того чтобы записать корень в виде степени с рациональным показателем, используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. В этой формуле $a$ — это основание (подкоренное выражение), $n$ — показатель корня, а $m$ — степень, в которую возведено основание. Если показатель корня $n$ не указан (квадратный корень), он по определению равен 2. Если степень $m$ у основания не указана, она по определению равна 1.

а)
Для $\sqrt{2}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{5}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{7}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{\frac{1}{3}}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{1\frac{1}{3}}$: сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда $\sqrt{1\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $2^{\frac{1}{2}}$; $5^{\frac{1}{2}}$; $7^{\frac{1}{2}}$; $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$; $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.

б)
Для $\sqrt[3]{4}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$. Также можно представить $4$ как $2^2$, тогда $\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{7}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{0.1}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{0.1} = (0.1)^{\frac{1}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{2.5}$: преобразуем десятичную дробь в обыкновенную $2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Тогда $\sqrt[3]{2.5} = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} = (\frac{5}{2})^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $4^{\frac{1}{3}}$; $7^{\frac{1}{3}}$; $(0.1)^{\frac{1}{3}}$; $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$; $(\frac{5}{2})^{\frac{1}{3}}$.

в)
Для $\sqrt[3]{2^2}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=2$. Следовательно, $\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.
Для $\sqrt[4]{3^5}$: показатель корня $n=4$, степень основания $m=5$. Следовательно, $\sqrt[4]{3^5} = 3^{\frac{5}{4}}$.
Для $\sqrt[6]{7^5}$: показатель корня $n=6$, степень основания $m=5$. Следовательно, $\sqrt[6]{7^5} = 7^{\frac{5}{6}}$.
Для $\sqrt{3^7}$: это квадратный корень, значит $n=2$. Степень основания $m=7$. Следовательно, $\sqrt{3^7} = 3^{\frac{7}{2}}$.
Для $\sqrt[5]{2^3}$: показатель корня $n=5$, степень основания $m=3$. Следовательно, $\sqrt[5]{2^3} = 2^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $2^{\frac{2}{3}}$; $3^{\frac{5}{4}}$; $7^{\frac{5}{6}}$; $3^{\frac{7}{2}}$; $2^{\frac{3}{5}}$.