Номер 364, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

364. а) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{3x+7}$;

б) $\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1} = \sqrt{3x+1}$;

в) $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2x+4} = \sqrt{6x+10}$;

г) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x+2} = \sqrt{6x+4}$.

а) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{3x+7}$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными:
$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -3 \\ x \ge -7/3 \end{cases}$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 2$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешних корней:
$(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{3x+7})^2$
$(x-2) + 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + (x+3) = 3x+7$
$2x+1 + 2\sqrt{x^2+x-6} = 3x+7$
Уединим оставшийся радикал в левой части уравнения:
$2\sqrt{x^2+x-6} = (3x+7) - (2x+1)$
$2\sqrt{x^2+x-6} = x+6$
Поскольку $x \ge 2$, правая часть $x+6$ всегда положительна. Снова возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x^2+x-6})^2 = (x+6)^2$
$4(x^2+x-6) = x^2+12x+36$
$4x^2+4x-24 = x^2+12x+36$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$3x^2 - 8x - 60 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2-4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 64 + 720 = 784$.
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{8+28}{6} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{8-28}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).
$x_1=6$ удовлетворяет условию, так как $6 \ge 2$.
$x_2=-10/3$ не удовлетворяет условию, так как $-10/3 < 2$, и является посторонним корнем.
Выполним проверку для $x=6$ в исходном уравнении:
$\sqrt{6-2} + \sqrt{6+3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{3(6)+7} = \sqrt{18+7} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Решение верное.
Ответ: $6$.

б) $\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1} = \sqrt{3x+1}$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge -1 \\ x \ge -1/3 \end{cases}$
Общая область допустимых значений: $x \ge 4$.
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{3x+1})^2$
$(x-4) + 2\sqrt{(x-4)(x+1)} + (x+1) = 3x+1$
$2x-3 + 2\sqrt{x^2-3x-4} = 3x+1$
Изолируем корень:
$2\sqrt{x^2-3x-4} = (3x+1) - (2x-3)$
$2\sqrt{x^2-3x-4} = x+4$
В ОДЗ ($x \ge 4$) правая часть $x+4$ положительна. Возводим в квадрат еще раз:
$(2\sqrt{x^2-3x-4})^2 = (x+4)^2$
$4(x^2-3x-4) = x^2+8x+16$
$4x^2-12x-16 = x^2+8x+16$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 - 20x - 32 = 0$
Решаем через дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 400 + 384 = 784$.
$\sqrt{D} = 28$.
$x_1 = \frac{20+28}{6} = \frac{48}{6} = 8$
$x_2 = \frac{20-28}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Сверяем с ОДЗ ($x \ge 4$):
$x_1=8$ подходит ($8 \ge 4$).
$x_2=-4/3$ не подходит ($-4/3 < 4$).
Проверка для $x=8$:
$\sqrt{8-4} + \sqrt{8+1} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{3(8)+1} = \sqrt{24+1} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Верно.
Ответ: $8$.

в) $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2x+4} = \sqrt{6x+10}$
ОДЗ:
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ 2x+4 \ge 0 \\ 6x+10 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1/2 \\ x \ge -2 \\ x \ge -5/3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 1/2$.
Возводим в квадрат:
$(\sqrt{2x-1} + \sqrt{2x+4})^2 = (\sqrt{6x+10})^2$
$(2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(2x+4)} + (2x+4) = 6x+10$
$4x+3 + 2\sqrt{4x^2+6x-4} = 6x+10$
Уединяем радикал:
$2\sqrt{4x^2+6x-4} = (6x+10) - (4x+3)$
$2\sqrt{4x^2+6x-4} = 2x+7$
При $x \ge 1/2$ правая часть $2x+7$ положительна. Возводим в квадрат:
$4(4x^2+6x-4) = (2x+7)^2$
$16x^2+24x-16 = 4x^2+28x+49$
$12x^2 - 4x - 65 = 0$
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-65) = 16 + 3120 = 3136$.
$\sqrt{D} = 56$.
$x_1 = \frac{4+56}{24} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} = 2.5$
$x_2 = \frac{4-56}{24} = \frac{-52}{24} = -\frac{13}{6}$
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 1/2$):
$x_1=5/2$ подходит ($2.5 \ge 0.5$).
$x_2=-13/6$ не подходит ($-13/6 < 1/2$).
Проверка для $x=5/2$:
$\sqrt{2(5/2)-1} + \sqrt{2(5/2)+4} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{6(5/2)+10} = \sqrt{15+10} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Верно.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

г) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x+2} = \sqrt{6x+4}$
ОДЗ:
$\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ 2x+2 \ge 0 \\ 6x+4 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 3/2 \\ x \ge -1 \\ x \ge -2/3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 3/2$.
Возводим в квадрат:
$(\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x+2})^2 = (\sqrt{6x+4})^2$
$(2x-3) + 2\sqrt{(2x-3)(2x+2)} + (2x+2) = 6x+4$
$4x-1 + 2\sqrt{4x^2-2x-6} = 6x+4$
Изолируем корень:
$2\sqrt{4x^2-2x-6} = (6x+4) - (4x-1)$
$2\sqrt{4x^2-2x-6} = 2x+5$
При $x \ge 3/2$, правая часть $2x+5$ положительна. Возводим в квадрат:
$4(4x^2-2x-6) = (2x+5)^2$
$16x^2-8x-24 = 4x^2+20x+25$
$12x^2 - 28x - 49 = 0$
$D = (-28)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-49) = 784 + 2352 = 3136$.
$\sqrt{D} = 56$.
$x_1 = \frac{28+56}{24} = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} = 3.5$
$x_2 = \frac{28-56}{24} = \frac{-28}{24} = -\frac{7}{6}$
Сверяем с ОДЗ ($x \ge 3/2 = 1.5$):
$x_1=7/2$ подходит ($3.5 \ge 1.5$).
$x_2=-7/6$ не подходит ($-7/6 < 1.5$).
Проверка для $x=7/2$:
$\sqrt{2(7/2)-3} + \sqrt{2(7/2)+2} = \sqrt{7-3} + \sqrt{7+2} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{6(7/2)+4} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Верно.
Ответ: $\frac{7}{2}$.