Номер 365, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

365. a) $\sqrt{x+1} = x-1;$

б) $\sqrt{x-1} = x-3;$

в) $\sqrt{3x+1} = |2x-1|;$

г) $\sqrt{7x-3} = |6x-4|;$

д) $\sqrt[3]{x-1} = x-1;$

е) $\sqrt[3]{4x+8} = x+2;$

ж) $\sqrt[3]{5x-3} = \sqrt[3]{3x-5};$

з) $\sqrt[5]{7x+4} = \sqrt[5]{5x-2};$

и) $\sqrt[7]{x^2+5x-5} = \sqrt[7]{2x^2-x};$

к) $\sqrt[9]{x^2-8x+6} = \sqrt[9]{3x^2-4x}.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x+1} = x-1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
2. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.
Теперь решим уравнение, возведя обе его части в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (x-1)^2$
$x+1 = x^2 - 2x + 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-3) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Проверим, соответствуют ли корни ОДЗ ($x \ge 1$).
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 1$.
Ответ: $x=3$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x-1} = x-3$.
ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$ и $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Итоговая ОДЗ: $x \ge 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
$x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ ($2 < 3$).
$x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 3$).
Ответ: $x=5$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{3x+1} = |2x-1|$.
ОДЗ: $3x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/3$. Правая часть $|2x-1|$ всегда неотрицательна.
Возведем обе части в квадрат (это равносильное преобразование на ОДЗ, так как обе части неотрицательны):
$(\sqrt{3x+1})^2 = (|2x-1|)^2$
$3x+1 = (2x-1)^2$
$3x+1 = 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 7x = 0$
$x(4x-7) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7/4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1/3$).
Ответ: $x_1=0; x_2=7/4$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{7x-3} = |6x-4|$.
ОДЗ: $7x-3 \ge 0 \implies x \ge 3/7$.
Возведем обе части в квадрат:
$7x-3 = (6x-4)^2$
$7x-3 = 36x^2 - 48x + 16$
$36x^2 - 55x + 19 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-55)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 19 = 3025 - 2736 = 289 = 17^2$.
$x_{1,2} = \frac{55 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 36} = \frac{55 \pm 17}{72}$.
$x_1 = \frac{55 - 17}{72} = \frac{38}{72} = \frac{19}{36}$.
$x_2 = \frac{55 + 17}{72} = \frac{72}{72} = 1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3/7$). $3/7 \approx 0.428$, $19/36 \approx 0.527$.
Оба корня $x_1 = 19/36$ и $x_2 = 1$ больше $3/7$, следовательно, оба являются решениями.
Ответ: $x_1=19/36; x_2=1$.

д) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x-1} = x-1$.
Для корня нечетной степени ОДЗ не накладывает ограничений, $x \in R$.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x-1})^3 = (x-1)^3$
$x-1 = (x-1)^3$
$(x-1)^3 - (x-1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)((x-1)^2 - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $(x-1)^2 - 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 1$, откуда $x-1 = 1$ или $x-1 = -1$.
$x_2 = 2$, $x_3 = 0$.
Ответ: $x_1=0; x_2=1; x_3=2$.

е) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{4x+8} = x+2$.
ОДЗ: $x \in R$.
Заметим, что подкоренное выражение можно упростить: $4x+8 = 4(x+2)$.
$\sqrt[3]{4(x+2)} = x+2$
Возведем обе части в куб:
$4(x+2) = (x+2)^3$
$(x+2)^3 - 4(x+2) = 0$
$(x+2)((x+2)^2 - 4) = 0$
1) $x+2 = 0 \implies x_1 = -2$.
2) $(x+2)^2 - 4 = 0 \implies (x+2)^2 = 4$, откуда $x+2 = 2$ или $x+2 = -2$.
$x_2 = 0$, $x_3 = -4$.
Ответ: $x_1=-4; x_2=-2; x_3=0$.

ж) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{5x-3} = \sqrt[3]{3x-5}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в куб:
$5x-3 = 3x-5$
$5x-3x = -5+3$
$2x = -2$
$x = -1$.
Ответ: $x=-1$.

з) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{7x+4} = \sqrt[5]{5x-2}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в пятую степень:
$7x+4 = 5x-2$
$7x-5x = -2-4$
$2x = -6$
$x = -3$.
Ответ: $x=-3$.

и) Исходное уравнение: $\sqrt[7]{x^2+5x-5} = \sqrt[7]{2x^2-x}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в седьмую степень:
$x^2+5x-5 = 2x^2-x$
$2x^2-x^2-x-5x+5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Ответ: $x_1=1; x_2=5$.

к) Исходное уравнение: $\sqrt[9]{x^2-8x+6} = \sqrt[9]{3x^2-4x}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в девятую степень:
$x^2-8x+6 = 3x^2-4x$
$3x^2-x^2-4x+8x-6 = 0$
$2x^2 + 4x - 6 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Ответ: $x_1=-3; x_2=1$.