Номер 371, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

371. а) $\sqrt[4]{a^3}$, $\sqrt[4]{a}$, $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x^2}$, $\sqrt{x^3}$;

б) $\sqrt{2a}$, $\sqrt[3]{3x}$, $\sqrt[4]{5x^3}$, $\sqrt{2xy^3}$, $\sqrt[5]{8a^2b^3}$.

Задача состоит в упрощении выражений путем вынесения множителя из-под знака корня. Это возможно, если степень множителя в подкоренном выражении больше или равна показателю корня. Будем считать, что все переменные принимают значения, при которых выражения определены (подкоренные выражения корней четной степени неотрицательны).

Для выражения $\sqrt[4]{a^3}$: показатель степени подкоренного выражения ($3$) меньше показателя корня ($4$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$

Для выражения $\sqrt[4]{a}$: показатель степени подкоренного выражения ($1$) меньше показателя корня ($4$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt[4]{a}$

Для выражения $\sqrt{x}$: показатель степени подкоренного выражения ($1$) меньше показателя корня ($2$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt{x}$

Для выражения $\sqrt[3]{x^2}$: показатель степени подкоренного выражения ($2$) меньше показателя корня ($3$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$

Для выражения $\sqrt{x^3}$: показатель степени ($3$) больше показателя корня ($2$), поэтому можно вынести множитель. Область определения выражения ($\sqrt{x^3}$) требует, чтобы $x^3 \ge 0$, а значит $x \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение: $\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x}$.
Вынесем множитель: $\sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x}$.
Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x^2} = x$.
В результате получаем $x\sqrt{x}$.

Ответ: $x\sqrt{x}$

Аналогично пункту а), упростим каждое выражение, вынося множители из-под знака корня, где это возможно.

Для выражения $\sqrt{2a}$: показатели степеней у множителей $2$ и $a$ равны $1$, что меньше показателя корня $2$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt{2a}$

Для выражения $\sqrt[3]{3x}$: показатели степеней у множителей $3$ и $x$ равны $1$, что меньше показателя корня $3$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[3]{3x}$

Для выражения $\sqrt[4]{5x^3}$: показатели степеней у множителей $5$ ($1$) и $x$ ($3$) меньше показателя корня $4$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[4]{5x^3}$

Для выражения $\sqrt{2xy^3}$: показатель степени у переменной $y$ ($3$) больше показателя корня ($2$), поэтому можно вынести множитель. Будем считать, что переменные неотрицательны ($x \ge 0, y \ge 0$), чтобы выражение имело смысл.

Разложим подкоренное выражение: $\sqrt{2xy^3} = \sqrt{2x \cdot y^2 \cdot y}$.
Вынесем множитель: $\sqrt{y^2} \cdot \sqrt{2xy}$.
Так как $y \ge 0$, то $\sqrt{y^2} = y$.
В результате получаем $y\sqrt{2xy}$.

Ответ: $y\sqrt{2xy}$

Для выражения $\sqrt[5]{8a^2b^3}$: представим $8$ как $2^3$, получим $\sqrt[5]{2^3a^2b^3}$. Показатели степеней всех множителей ($3$ у $2$, $2$ у $a$, $3$ у $b$) меньше показателя корня $5$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[5]{8a^2b^3}$