Номер 373, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Запишите в виде корней (373—374):

373. а) $a^{\frac{1}{2}}, a^{\frac{1}{3}}, b^{\frac{1}{4}}, (ac)^{\frac{1}{7}};$

б) $(x+1)^{\frac{1}{2}}, (a-b)^{\frac{7}{4}}, (m+3)^{\frac{1}{4}};$

в) $3^{\frac{2}{3}}, 4^{\frac{3}{5}}, 6^{\frac{2}{3}}, 7^{\frac{5}{9}}, 10^{0,6};$

г) $a^{1\frac{2}{3}}, c^{1,4}, x^{\frac{1}{n}}, x^{\frac{n}{2}}, y^{\frac{m}{n}},$

где $n$ и $m$ — натуральные числа и $n \ge 2$.

Чтобы записать степень с рациональным показателем в виде корня, используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этой формуле основание степени $a$ становится подкоренным выражением, числитель показателя $m$ — степенью подкоренного выражения, а знаменатель $n$ — показателем корня.

а)

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$
$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^1} = \sqrt[3]{a}$
$b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4]{b}$
$(ac)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{(ac)^1} = \sqrt[7]{ac}$
Ответ: $\sqrt{a}; \sqrt[3]{a}; \sqrt[4]{b}; \sqrt[7]{ac}$.

б)

$(x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{(x+1)^1} = \sqrt{x+1}$
$(a-b)^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{(a-b)^7}$
$(m+3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{(m+3)^1} = \sqrt[4]{m+3}$
Ответ: $\sqrt{x+1}; \sqrt[4]{(a-b)^7}; \sqrt[4]{m+3}$.

в)

$3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$
$4^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{4^3} = \sqrt[5]{64}$
$6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^2} = \sqrt[3]{36}$
$7^{\frac{5}{9}} = \sqrt[9]{7^5}$
$10^{0,6} = 10^{\frac{6}{10}} = 10^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{10^3} = \sqrt[5]{1000}$
Ответ: $\sqrt[3]{9}; \sqrt[5]{64}; \sqrt[3]{36}; \sqrt[9]{7^5}; \sqrt[5]{1000}$.

г)

$a^{1\frac{2}{3}} = a^{\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}} = a^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{a^5}$
$c^{1,4} = c^{\frac{14}{10}} = c^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{c^7}$
$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$
$x^{\frac{n}{2}} = \sqrt{x^n}$
$y^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{y^m}$
Ответ: $\sqrt[3]{a^5}; \sqrt[5]{c^7}; \sqrt[n]{x}; \sqrt{x^n}; \sqrt[n]{y^m}$.