Номер 368, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

368. a) $\sqrt{\frac{13x + 3}{x + 3}} + 25 \sqrt{\frac{x + 3}{13x + 3}} - 10 = 0;$

б) $\sqrt{\frac{11x - 14}{x + 1}} + 36 \sqrt{\frac{x + 1}{11x - 14}} - 12 = 0.$

а) $\sqrt{\frac{13x+3}{x+3}} + 25\sqrt{\frac{x+3}{13x+3}} - 10 = 0$

Это иррациональное уравнение. Заметим, что второй член уравнения содержит корень из выражения, обратного подкоренному выражению в первом члене.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{13x+3}{x+3}}$.

Так как $y$ представляет собой арифметический квадратный корень, то $y > 0$. (Случай $y=0$ невозможен, так как тогда знаменатель второго слагаемого $13x+3$ обратился бы в ноль).

Тогда $\sqrt{\frac{x+3}{13x+3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{13x+3}{x+3}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y + 25 \cdot \frac{1}{y} - 10 = 0$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$y^2 + 25 - 10y = 0$

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:

$y^2 - 10y + 25 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(y-5)^2 = 0$

Отсюда находим $y$:

$y - 5 = 0$

$y = 5$

Полученное значение удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{13x+3}{x+3}} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{13x+3}{x+3} = 25$

Решим полученное рациональное уравнение. Область допустимых значений: $x+3 \neq 0$, т.е. $x \neq -3$.

$13x+3 = 25(x+3)$

$13x+3 = 25x + 75$

$3 - 75 = 25x - 13x$

$-72 = 12x$

$x = \frac{-72}{12}$

$x = -6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ исходного уравнения. Подкоренное выражение $\frac{13x+3}{x+3}$ должно быть положительным. При $x=-6$:

$\frac{13(-6)+3}{-6+3} = \frac{-78+3}{-3} = \frac{-75}{-3} = 25 > 0$

Условие выполняется. Корень $x=-6$ является решением уравнения.

Ответ: $x = -6$.

б) $\sqrt{\frac{11x-14}{x+1}} + 36\sqrt{\frac{x+1}{11x-14}} - 12 = 0$

Данное уравнение решается аналогично предыдущему. Введем замену переменной.

Пусть $z = \sqrt{\frac{11x-14}{x+1}}$.

По определению арифметического корня, $z > 0$ (значение $z=0$ привело бы к делению на ноль во втором слагаемом).

Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{11x-14}} = \frac{1}{z}$.

Подставим $z$ в уравнение:

$z + 36 \cdot \frac{1}{z} - 12 = 0$

Умножим обе части на $z$ (где $z \neq 0$):

$z^2 + 36 - 12z = 0$

Запишем в стандартном виде:

$z^2 - 12z + 36 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(z-6)^2 = 0$

Отсюда:

$z - 6 = 0$

$z = 6$

Значение $z=6$ удовлетворяет условию $z > 0$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{11x-14}{x+1}} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{11x-14}{x+1} = 36$

Решим это уравнение при условии, что $x+1 \neq 0$ ($x \neq -1$):

$11x-14 = 36(x+1)$

$11x-14 = 36x + 36$

$-14 - 36 = 36x - 11x$

$-50 = 25x$

$x = \frac{-50}{25}$

$x = -2$

Проверим ОДЗ. При $x=-2$ подкоренное выражение $\frac{11x-14}{x+1}$ должно быть положительным:

$\frac{11(-2)-14}{-2+1} = \frac{-22-14}{-1} = \frac{-36}{-1} = 36 > 0$

Условие выполнено, следовательно, $x=-2$ является решением.

Ответ: $x = -2$.