Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

365. a) $\sqrt{x+1} = x-1;$

б) $\sqrt{x-1} = x-3;$

в) $\sqrt{3x+1} = |2x-1|;$

г) $\sqrt{7x-3} = |6x-4|;$

д) $\sqrt[3]{x-1} = x-1;$

е) $\sqrt[3]{4x+8} = x+2;$

ж) $\sqrt[3]{5x-3} = \sqrt[3]{3x-5};$

з) $\sqrt[5]{7x+4} = \sqrt[5]{5x-2};$

и) $\sqrt[7]{x^2+5x-5} = \sqrt[7]{2x^2-x};$

к) $\sqrt[9]{x^2-8x+6} = \sqrt[9]{3x^2-4x}.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x+1} = x-1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
2. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.
Теперь решим уравнение, возведя обе его части в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (x-1)^2$
$x+1 = x^2 - 2x + 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-3) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Проверим, соответствуют ли корни ОДЗ ($x \ge 1$).
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 1$.
Ответ: $x=3$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x-1} = x-3$.
ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$ и $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Итоговая ОДЗ: $x \ge 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
$x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ ($2 < 3$).
$x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 3$).
Ответ: $x=5$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{3x+1} = |2x-1|$.
ОДЗ: $3x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/3$. Правая часть $|2x-1|$ всегда неотрицательна.
Возведем обе части в квадрат (это равносильное преобразование на ОДЗ, так как обе части неотрицательны):
$(\sqrt{3x+1})^2 = (|2x-1|)^2$
$3x+1 = (2x-1)^2$
$3x+1 = 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 7x = 0$
$x(4x-7) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7/4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1/3$).
Ответ: $x_1=0; x_2=7/4$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{7x-3} = |6x-4|$.
ОДЗ: $7x-3 \ge 0 \implies x \ge 3/7$.
Возведем обе части в квадрат:
$7x-3 = (6x-4)^2$
$7x-3 = 36x^2 - 48x + 16$
$36x^2 - 55x + 19 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-55)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 19 = 3025 - 2736 = 289 = 17^2$.
$x_{1,2} = \frac{55 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 36} = \frac{55 \pm 17}{72}$.
$x_1 = \frac{55 - 17}{72} = \frac{38}{72} = \frac{19}{36}$.
$x_2 = \frac{55 + 17}{72} = \frac{72}{72} = 1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3/7$). $3/7 \approx 0.428$, $19/36 \approx 0.527$.
Оба корня $x_1 = 19/36$ и $x_2 = 1$ больше $3/7$, следовательно, оба являются решениями.
Ответ: $x_1=19/36; x_2=1$.

д) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x-1} = x-1$.
Для корня нечетной степени ОДЗ не накладывает ограничений, $x \in R$.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x-1})^3 = (x-1)^3$
$x-1 = (x-1)^3$
$(x-1)^3 - (x-1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-1)$:
$(x-1)((x-1)^2 - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $(x-1)^2 - 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 1$, откуда $x-1 = 1$ или $x-1 = -1$.
$x_2 = 2$, $x_3 = 0$.
Ответ: $x_1=0; x_2=1; x_3=2$.

е) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{4x+8} = x+2$.
ОДЗ: $x \in R$.
Заметим, что подкоренное выражение можно упростить: $4x+8 = 4(x+2)$.
$\sqrt[3]{4(x+2)} = x+2$
Возведем обе части в куб:
$4(x+2) = (x+2)^3$
$(x+2)^3 - 4(x+2) = 0$
$(x+2)((x+2)^2 - 4) = 0$
1) $x+2 = 0 \implies x_1 = -2$.
2) $(x+2)^2 - 4 = 0 \implies (x+2)^2 = 4$, откуда $x+2 = 2$ или $x+2 = -2$.
$x_2 = 0$, $x_3 = -4$.
Ответ: $x_1=-4; x_2=-2; x_3=0$.

ж) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{5x-3} = \sqrt[3]{3x-5}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в куб:
$5x-3 = 3x-5$
$5x-3x = -5+3$
$2x = -2$
$x = -1$.
Ответ: $x=-1$.

з) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{7x+4} = \sqrt[5]{5x-2}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в пятую степень:
$7x+4 = 5x-2$
$7x-5x = -2-4$
$2x = -6$
$x = -3$.
Ответ: $x=-3$.

и) Исходное уравнение: $\sqrt[7]{x^2+5x-5} = \sqrt[7]{2x^2-x}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в седьмую степень:
$x^2+5x-5 = 2x^2-x$
$2x^2-x^2-x-5x+5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Ответ: $x_1=1; x_2=5$.

к) Исходное уравнение: $\sqrt[9]{x^2-8x+6} = \sqrt[9]{3x^2-4x}$.
ОДЗ: $x \in R$.
Возведем обе части в девятую степень:
$x^2-8x+6 = 3x^2-4x$
$3x^2-x^2-4x+8x-6 = 0$
$2x^2 + 4x - 6 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Ответ: $x_1=-3; x_2=1$.

366. a) $\sqrt{x^2 + 2x + 10} + \sqrt{x^2 + 2x + 17} = 7;$

б) $\sqrt{x^2 + 6x + 10} + \sqrt{x^2 + 6x + 13} = 3;$

в) $\sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{2x^2 + 6x - 4} = 7;$

г) $\sqrt{x^2 - 5x - 23} + \sqrt{2x^2 - 10x - 32} = 5;$

д) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}} = 2;$

е) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 8x + 18}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 8x + 24}} = \sqrt{2}.$

а) $\sqrt{x^2 + 2x + 10} + \sqrt{x^2 + 2x + 17} = 7$

Преобразуем подкоренные выражения, выделив в них полные квадраты. Заметим, что $x^2 + 2x$ является общей частью.

$x^2 + 2x + 10 = (x^2 + 2x + 1) + 9 = (x+1)^2 + 9$

$x^2 + 2x + 17 = (x^2 + 2x + 1) + 16 = (x+1)^2 + 16$

Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x+1)^2 + 9 > 0$ и $(x+1)^2 + 16 > 0$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ – все действительные числа.

Введем замену переменной. Пусть $y = (x+1)^2$. Учитывая, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным, имеем $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$\sqrt{y + 9} + \sqrt{y + 16} = 7$

Это иррациональное уравнение относительно $y$. Уединим один из корней:

$\sqrt{y + 16} = 7 - \sqrt{y + 9}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо убедиться, что правая часть неотрицательна: $7 - \sqrt{y + 9} \ge 0$, что эквивалентно $\sqrt{y + 9} \le 7$, или $y + 9 \le 49$, то есть $y \le 40$.

$(\sqrt{y + 16})^2 = (7 - \sqrt{y + 9})^2$

$y + 16 = 49 - 14\sqrt{y + 9} + (y + 9)$

$y + 16 = 58 + y - 14\sqrt{y + 9}$

Приведем подобные члены:

$14\sqrt{y + 9} = 58 - 16 = 42$

$\sqrt{y + 9} = \frac{42}{14} = 3$

Снова возводим в квадрат:

$y + 9 = 3^2 = 9$

$y = 0$

Полученное значение $y = 0$ удовлетворяет условиям $y \ge 0$ и $y \le 40$, значит, это действительный корень уравнения для $y$.

Теперь выполним обратную замену:

$(x+1)^2 = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$

Ответ: $-1$.

б) $\sqrt{x^2 + 6x + 10} + \sqrt{x^2 + 6x + 13} = 3$

Аналогично предыдущему пункту, выделим полный квадрат в подкоренных выражениях:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$

$x^2 + 6x + 13 = (x^2 + 6x + 9) + 4 = (x+3)^2 + 4$

Подкоренные выражения всегда положительны, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену $y = (x+3)^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{y + 1} + \sqrt{y + 4} = 3$

Рассмотрим функцию $f(y) = \sqrt{y + 1} + \sqrt{y + 4}$. Она является строго возрастающей при $y \ge 0$ как сумма двух возрастающих функций. Следовательно, уравнение $f(y) = 3$ может иметь не более одного корня.

Методом подбора находим, что $y=0$ является решением:

$\sqrt{0 + 1} + \sqrt{0 + 4} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$

Поскольку решение единственное, то $y=0$ – это и есть корень уравнения.

Выполним обратную замену:

$(x+3)^2 = 0 \implies x+3 = 0 \implies x = -3$

Ответ: $-3$.

в) $\sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{2x^2 + 6x - 4} = 7$

Заметим, что второе подкоренное выражение связано с первым: $2x^2 + 6x - 4 = 2(x^2 + 3x - 2)$.

Введем замену $y = \sqrt{x^2 + 3x - 1}$. Тогда $y^2 = x^2 + 3x - 1$, откуда $x^2 + 3x = y^2 + 1$.

Выразим второе подкоренное выражение через $y$:

$2(x^2 + 3x - 2) = 2((y^2+1) - 2) = 2(y^2 - 1)$

Уравнение принимает вид:

$y + \sqrt{2(y^2 - 1)} = 7$

Определим ОДЗ для $y$. Так как $y$ - арифметический квадратный корень, $y \ge 0$. Также должно выполняться условие $2(y^2 - 1) \ge 0 \implies y^2 \ge 1 \implies y \ge 1$.

Решаем уравнение для $y$ при $y \ge 1$:

$\sqrt{2(y^2 - 1)} = 7 - y$

Возводим в квадрат. Условие для возведения: $7-y \ge 0 \implies y \le 7$. Итак, ищем корень на отрезке $[1, 7]$.

$2(y^2 - 1) = (7-y)^2$

$2y^2 - 2 = 49 - 14y + y^2$

$y^2 + 14y - 51 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Корни: $y_1 = 3$, $y_2 = -17$.

Корень $y_2 = -17$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$. Корень $y_1 = 3$ удовлетворяет условию $1 \le 3 \le 7$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 3$

$x^2 + 3x - 1 = 9$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

$(x+5)(x-2) = 0$

$x_1 = -5, x_2 = 2$. Оба корня действительны. Необходимо проверить их по исходной ОДЗ ($x^2+3x-1 \ge 0$ и $2x^2+6x-4 \ge 0$), но так как мы решали через $y=\sqrt{...}=3$, эти условия выполняются автоматически.

Ответ: $-5; 2$.

г) $\sqrt{x^2 - 5x - 23} + \sqrt{2x^2 - 10x - 32} = 5$

Заметим, что $2x^2 - 10x - 32 = 2(x^2 - 5x - 16)$.

Введем замену $y = \sqrt{x^2 - 5x - 23}$. Отсюда $y^2 = x^2 - 5x - 23 \implies x^2 - 5x = y^2 + 23$.

Выразим второе подкоренное выражение через $y$:

$2(x^2 - 5x - 16) = 2((y^2+23) - 16) = 2(y^2 + 7)$

Уравнение принимает вид:

$y + \sqrt{2(y^2 + 7)} = 5$

ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ (как арифметический корень). Выражение $2(y^2+7)$ всегда положительно.

$\sqrt{2(y^2 + 7)} = 5 - y$

Возводим в квадрат при условии $5-y \ge 0 \implies y \le 5$. Ищем корень на отрезке $[0, 5]$.

$2(y^2 + 7) = (5-y)^2$

$2y^2 + 14 = 25 - 10y + y^2$

$y^2 + 10y - 11 = 0$

$(y+11)(y-1) = 0$

Корни: $y_1 = 1, y_2 = -11$. Корень $y_2 = -11$ не подходит по ОДЗ. Корень $y_1 = 1$ подходит, так как $0 \le 1 \le 5$.

Обратная замена:

$\sqrt{x^2 - 5x - 23} = 1$

$x^2 - 5x - 23 = 1$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

$(x-8)(x+3) = 0$

$x_1 = 8, x_2 = -3$.

Ответ: $8; -3$.

д) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}} = 2$

Выделим полные квадраты в знаменателях:

$x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$

$x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4$

Оба выражения под корнем строго положительны при любых $x$, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Сделаем замену $y = (x-3)^2$, где $y \ge 0$.

$\frac{1}{\sqrt{y+1}} + \frac{2}{\sqrt{y+4}} = 2$

Рассмотрим левую часть как функцию $f(y) = \frac{1}{\sqrt{y+1}} + \frac{2}{\sqrt{y+4}}$. Так как с ростом $y \ge 0$ знаменатели $\sqrt{y+1}$ и $\sqrt{y+4}$ растут, то дроби уменьшаются. Значит, $f(y)$ – строго убывающая функция. Уравнение $f(y)=2$ может иметь не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем $y=0$:

$f(0) = \frac{1}{\sqrt{0+1}} + \frac{2}{\sqrt{0+4}} = \frac{1}{1} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Значит, $y=0$ – единственный корень.

Обратная замена:

$(x-3)^2 = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3$

Ответ: $3$.

е) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 8x + 18}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 8x + 24}} = \sqrt{2}$

Выделим полные квадраты в знаменателях:

$x^2 - 8x + 18 = (x-4)^2 + 2$

$x^2 - 8x + 24 = (x-4)^2 + 8$

Подкоренные выражения положительны, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Замена $y = (x-4)^2$, где $y \ge 0$.

$\frac{1}{\sqrt{y+2}} + \frac{2}{\sqrt{y+8}} = \sqrt{2}$

Левая часть является строго убывающей функцией от $y$ при $y \ge 0$, поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень. Проверим $y=0$:

$\frac{1}{\sqrt{0+2}} + \frac{2}{\sqrt{0+8}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$y=0$ является единственным корнем.

Обратная замена:

$(x-4)^2 = 0 \implies x-4=0 \implies x=4$

Ответ: $4$.

367. a) $(x^2 - 4)(\sqrt{x+1} - 2) = 0;$

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{x+3} - 1) = 0;$

в) $(x^2 - x - 6)(\sqrt{x+1} - 3) = 0;$

г) $(x^2 + 2x - 15)(\sqrt{x+4} - 1) = 0;$

д) $(\sqrt[6]{2x^2 - 7} + \sqrt[3]{x - 3})(\sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} - 1) = 0.$

а)Исходное уравнение: $(x^2 - 4)(\sqrt{x+1} - 2) = 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
ОДЗ: $x \in [-1, +\infty)$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (т.е. значение $x$ входит в ОДЗ).
Рассмотрим два случая:
1) $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 \ge -1$.
• $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < -1$. Это посторонний корень.

2) $\sqrt{x+1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x+1} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+1})^2 = 2^2 \implies x+1 = 4 \implies x_3 = 3$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $3 \ge -1$.
Объединяя все подходящие корни, получаем окончательное решение.
Ответ: $2; 3$.

б)Исходное уравнение: $(x^2 - 16)(\sqrt{x+3} - 1) = 0$.
ОДЗ: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
ОДЗ: $x \in [-3, +\infty)$.
1) $x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = 4, x_2 = -4$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 4$ принадлежит ОДЗ ($4 \ge -3$).
• $x_2 = -4$ не принадлежит ОДЗ ($-4 < -3$). Посторонний корень.

2) $\sqrt{x+3} - 1 = 0 \implies \sqrt{x+3} = 1$.
Возводим в квадрат: $x+3 = 1 \implies x_3 = -2$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = -2$ принадлежит ОДЗ ($-2 \ge -3$).
Ответ: $-2; 4$.

в)Исходное уравнение: $(x^2 - x - 6)(\sqrt{x+1} - 3) = 0$.
ОДЗ: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
ОДЗ: $x \in [-1, +\infty)$.
1) $x^2 - x - 6 = 0$.
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -2$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($3 \ge -1$).
• $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ ($-2 < -1$). Посторонний корень.

2) $\sqrt{x+1} - 3 = 0 \implies \sqrt{x+1} = 3$.
Возводим в квадрат: $x+1 = 9 \implies x_3 = 8$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = 8$ принадлежит ОДЗ ($8 \ge -1$).
Ответ: $3; 8$.

г)Исходное уравнение: $(x^2 + 2x - 15)(\sqrt{x+4} - 1) = 0$.
ОДЗ: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.
ОДЗ: $x \in [-4, +\infty)$.
1) $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -5$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($3 \ge -4$).
• $x_2 = -5$ не принадлежит ОДЗ ($-5 < -4$). Посторонний корень.

2) $\sqrt{x+4} - 1 = 0 \implies \sqrt{x+4} = 1$.
Возводим в квадрат: $x+4 = 1 \implies x_3 = -3$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = -3$ принадлежит ОДЗ ($-3 \ge -4$).
Ответ: $-3; 3$.

д)Исходное уравнение: $(\sqrt[6]{2x^2 - 7} + \sqrt[3]{x-3})(\sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} - 1) = 0$.
Найдем ОДЗ. Выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:
1. $2x^2 - 7 \ge 0 \implies x^2 \ge 3.5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{3.5}] \cup [\sqrt{3.5}, +\infty)$.2. $x^2 - 2x - 2 \ge 0$. Найдем корни $x^2 - 2x - 2 = 0$: $D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 12$, $x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1-\sqrt{3}] \cup [1+\sqrt{3}, +\infty)$.
Объединим условия. Так как $\sqrt{3.5} \approx 1.87$, $1-\sqrt{3} \approx -0.73$, $1+\sqrt{3} \approx 2.73$, то $-\sqrt{3.5} < 1-\sqrt{3}$.ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3.5}] \cup [1+\sqrt{3}, +\infty)$.
Рассмотрим два случая:
1) $\sqrt[6]{2x^2 - 7} + \sqrt[3]{x-3} = 0 \implies \sqrt[6]{2x^2 - 7} = -\sqrt[3]{x-3}$.
Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $-\sqrt[3]{x-3} \ge 0 \implies x-3 \le 0 \implies x \le 3$.Возведем обе части в шестую степень: $2x^2-7 = (-(x-3)^{1/3})^6 = (x-3)^2$.
$2x^2-7 = x^2-6x+9 \implies x^2+6x-16=0$.
Корни: $x_1=2, x_2=-8$.
Проверяем корни:

• $x_1=2$. Удовлетворяет условию $x \le 3$, но не входит в ОДЗ, так как $2$ не принадлежит $(-\infty, -\sqrt{3.5}] \cup [1+\sqrt{3}, +\infty)$. Посторонний корень.
• $x_2=-8$. Удовлетворяет условию $x \le 3$ и входит в ОДЗ, так как $-8 \le -\sqrt{3.5}$. Этот корень подходит.

2) $\sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} - 1 = 0 \implies \sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} = 1$.
Возведем в четвертую степень: $x^2 - 2x - 2 = 1 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
Корни: $x_3=3, x_4=-1$.
Проверяем корни:

• $x_3=3$. Входит в ОДЗ, так как $3 \ge 1+\sqrt{3}$. Этот корень подходит.
• $x_4=-1$. Не входит в ОДЗ. Посторонний корень.

Ответ: $-8; 3$.

368. a) $\sqrt{\frac{13x + 3}{x + 3}} + 25 \sqrt{\frac{x + 3}{13x + 3}} - 10 = 0;$

б) $\sqrt{\frac{11x - 14}{x + 1}} + 36 \sqrt{\frac{x + 1}{11x - 14}} - 12 = 0.$

а) $\sqrt{\frac{13x+3}{x+3}} + 25\sqrt{\frac{x+3}{13x+3}} - 10 = 0$

Это иррациональное уравнение. Заметим, что второй член уравнения содержит корень из выражения, обратного подкоренному выражению в первом члене.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{13x+3}{x+3}}$.

Так как $y$ представляет собой арифметический квадратный корень, то $y > 0$. (Случай $y=0$ невозможен, так как тогда знаменатель второго слагаемого $13x+3$ обратился бы в ноль).

Тогда $\sqrt{\frac{x+3}{13x+3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{13x+3}{x+3}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y + 25 \cdot \frac{1}{y} - 10 = 0$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$y^2 + 25 - 10y = 0$

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:

$y^2 - 10y + 25 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(y-5)^2 = 0$

Отсюда находим $y$:

$y - 5 = 0$

$y = 5$

Полученное значение удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{13x+3}{x+3}} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{13x+3}{x+3} = 25$

Решим полученное рациональное уравнение. Область допустимых значений: $x+3 \neq 0$, т.е. $x \neq -3$.

$13x+3 = 25(x+3)$

$13x+3 = 25x + 75$

$3 - 75 = 25x - 13x$

$-72 = 12x$

$x = \frac{-72}{12}$

$x = -6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ исходного уравнения. Подкоренное выражение $\frac{13x+3}{x+3}$ должно быть положительным. При $x=-6$:

$\frac{13(-6)+3}{-6+3} = \frac{-78+3}{-3} = \frac{-75}{-3} = 25 > 0$

Условие выполняется. Корень $x=-6$ является решением уравнения.

Ответ: $x = -6$.

б) $\sqrt{\frac{11x-14}{x+1}} + 36\sqrt{\frac{x+1}{11x-14}} - 12 = 0$

Данное уравнение решается аналогично предыдущему. Введем замену переменной.

Пусть $z = \sqrt{\frac{11x-14}{x+1}}$.

По определению арифметического корня, $z > 0$ (значение $z=0$ привело бы к делению на ноль во втором слагаемом).

Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{11x-14}} = \frac{1}{z}$.

Подставим $z$ в уравнение:

$z + 36 \cdot \frac{1}{z} - 12 = 0$

Умножим обе части на $z$ (где $z \neq 0$):

$z^2 + 36 - 12z = 0$

Запишем в стандартном виде:

$z^2 - 12z + 36 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(z-6)^2 = 0$

Отсюда:

$z - 6 = 0$

$z = 6$

Значение $z=6$ удовлетворяет условию $z > 0$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{11x-14}{x+1}} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{11x-14}{x+1} = 36$

Решим это уравнение при условии, что $x+1 \neq 0$ ($x \neq -1$):

$11x-14 = 36(x+1)$

$11x-14 = 36x + 36$

$-14 - 36 = 36x - 11x$

$-50 = 25x$

$x = \frac{-50}{25}$

$x = -2$

Проверим ОДЗ. При $x=-2$ подкоренное выражение $\frac{11x-14}{x+1}$ должно быть положительным:

$\frac{11(-2)-14}{-2+1} = \frac{-22-14}{-1} = \frac{-36}{-1} = 36 > 0$

Условие выполнено, следовательно, $x=-2$ является решением.

Ответ: $x = -2$.