Страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

360. Является ли иррациональным уравнение:

а) $\sqrt{2x+5} = \sqrt[3]{7x-5}$;

б) $\sqrt{5x-4} = x$;

в) $x^2-x-\sqrt{2} = 0$;

г) $x^2-(\sqrt{5}-1)x-\sqrt{5} = 0?$

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или возводится в степень с дробным показателем.

а) В уравнении $\sqrt{2x + 5} = \sqrt[3]{7x - 5}$ переменная $x$ находится как под знаком квадратного корня, так и под знаком кубического корня. Согласно определению, это уравнение является иррациональным.
Ответ: да, является.

б) В уравнении $\sqrt{5x - 4} = x$ переменная $x$ находится под знаком квадратного корня. Этого достаточно, чтобы считать уравнение иррациональным.
Ответ: да, является.

в) Уравнение $x^2 - x - \sqrt{2} = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-1$, $c=-\sqrt{2}$. Переменная $x$ не находится под знаком корня. То, что один из коэффициентов ($c$) является иррациональным числом, не делает само уравнение иррациональным.
Ответ: нет, не является.

г) Уравнение $x^2 - (\sqrt{5} - 1)x - \sqrt{5} = 0$ также является квадратным уравнением. Переменная $x$ не находится под знаком корня. Коэффициенты при $x$ и свободный член являются иррациональными числами, но это не делает уравнение иррациональным по определению.
Ответ: нет, не является.

361. Подберите число x, удовлетворяющее равенству:

a) $\sqrt[3]{x+5}=2;$

б) $\sqrt[4]{x+79}=3;$

в) $2\sqrt[4]{x}=3;$

г) $\frac{1}{2}\sqrt[4]{x}=5.$

а) Дано равенство $\sqrt[3]{x+5} = 2$.
Чтобы найти $x$, нужно избавиться от кубического корня. Для этого возведем обе части равенства в третью степень:
$(\sqrt[3]{x+5})^3 = 2^3$
$x+5 = 8$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем 5 в правую часть с противоположным знаком:
$x = 8 - 5$
$x = 3$
Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное равенство:
$\sqrt[3]{3+5} = \sqrt[3]{8} = 2$.
$2 = 2$. Равенство верное.
Ответ: 3.

б) Дано равенство $\sqrt[4]{x+79} = 3$.
Чтобы найти $x$, нужно избавиться от корня четвертой степени. Для этого возведем обе части равенства в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x+79})^4 = 3^4$
$x+79 = 81$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 79 в правую часть с противоположным знаком:
$x = 81 - 79$
$x = 2$
Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное равенство:
$\sqrt[4]{2+79} = \sqrt[4]{81} = 3$.
$3 = 3$. Равенство верное.
Ответ: 2.

в) Дано равенство $2\sqrt[4]{x} = 3$.
Сначала изолируем корень, разделив обе части равенства на 2:
$\sqrt[4]{x} = \frac{3}{2}$
Теперь возведем обе части равенства в четвертую степень, чтобы найти $x$:
$(\sqrt[4]{x})^4 = (\frac{3}{2})^4$
$x = \frac{3^4}{2^4}$
$x = \frac{81}{16}$
Это значение можно представить в виде смешанной дроби $5\frac{1}{16}$ или десятичной дроби $5.0625$.
Выполним проверку:
$2\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.
$3 = 3$. Равенство верное.
Ответ: $\frac{81}{16}$.

г) Дано равенство $\frac{1}{2}\sqrt[4]{x} = 5$.
Сначала изолируем корень, умножив обе части равенства на 2:
$\sqrt[4]{x} = 5 \cdot 2$
$\sqrt[4]{x} = 10$
Теперь возведем обе части равенства в четвертую степень:
$(\sqrt[4]{x})^4 = 10^4$
$x = 10000$
Выполним проверку:
$\frac{1}{2}\sqrt[4]{10000} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.
$5 = 5$. Равенство верное.
Ответ: 10000.

Решите уравнение (362–368):

362. а) $\sqrt{5x+11} = x+1$;

б) $\sqrt{4x+13} = x-8$;

в) $\sqrt{3x+13} = x+3$;

г) $\sqrt{2x+19} = x+2$.

а) $\sqrt{5x + 11} = x + 1$

Решение:

Для решения иррационального уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 11 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим ее:

$\begin{cases} 5x \ge -11 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2.2 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Общим решением системы является $x \ge -1$. Это и есть ОДЗ.

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{5x + 11})^2 = (x + 1)^2$

$5x + 11 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 5x + 1 - 11 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x \ge -1$):

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 \ge -1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 5

б) $\sqrt{4x + 13} = x - 8$

Решение:

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x + 13 \ge 0 \\ x - 8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge -13 \\ x \ge 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3.25 \\ x \ge 8 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 8$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4x + 13})^2 = (x - 8)^2$

$4x + 13 = x^2 - 16x + 64$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 - 16x - 4x + 64 - 13 = 0$

$x^2 - 20x + 51 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 400 - 204 = 196 = 14^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{20 + 14}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$x_2 = \frac{20 - 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 8$):

Корень $x_1 = 17$ удовлетворяет условию, так как $17 \ge 8$.

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию, так как $3 < 8$. Это посторонний корень.

Ответ: 17

в) $\sqrt{3x + 13} = x + 3$

Решение:

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x + 13 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -13 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -13/3 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Так как $-13/3 \approx -4.33$, то ОДЗ: $x \ge -3$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x + 13})^2 = (x + 3)^2$

$3x + 13 = x^2 + 6x + 9$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 + 6x - 3x + 9 - 13 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение $-4$. Корни: $x_1=1$ и $x_2=-4$.

Проверим через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -3$):

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \ge -3$).

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 < -3$). Это посторонний корень.

Ответ: 1

г) $\sqrt{2x + 19} = x + 2$

Решение:

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x + 19 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -19 \\ x \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -9.5 \\ x \ge -2 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge -2$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 19})^2 = (x + 2)^2$

$2x + 19 = x^2 + 4x + 4$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 + 4x - 2x + 4 - 19 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-15$. Корни: $x_1=3$ и $x_2=-5$.

Проверим через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2$):

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge -2$).

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < -2$). Это посторонний корень.

Ответ: 3

363. а) $\sqrt{3x - 7} = \sqrt{2x - 5}$;

б) $\sqrt{5x - 9} = \sqrt{2x + 3}$;

в) $\sqrt{15x + 14} = \sqrt{14x + 13}$;

г) $\sqrt{15x - 14} = \sqrt{14x - 13}$;

д) $\sqrt[4]{2x + 1} = \sqrt{2x - 1}$;

е) $\sqrt[4]{2x - 1} = \sqrt{2x - 3}$.

а) $\sqrt{3x - 7} = \sqrt{2x - 5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств, так как выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3x - 7 \geq 0 \\ 2x - 5 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \geq 7 \\ 2x \geq 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{7}{3} \\ x \geq \frac{5}{2} \end{cases}$.
Поскольку $\frac{5}{2} = 2.5$, а $\frac{7}{3} \approx 2.33$, для одновременного выполнения обоих условий необходимо, чтобы $x \geq 2.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2.5, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt{3x - 7})^2 = (\sqrt{2x - 5})^2$
$3x - 7 = 2x - 5$
$3x - 2x = 7 - 5$
$x = 2$
Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $2 < 2.5$, корень $x=2$ не входит в область допустимых значений и является посторонним. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

б) $\sqrt{5x - 9} = \sqrt{2x + 3}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 5x - 9 \geq 0 \\ 2x + 3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x \geq 9 \\ 2x \geq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{9}{5} \\ x \geq -\frac{3}{2} \end{cases}$.
Так как $\frac{9}{5} = 1.8$ и $\frac{9}{5} > -\frac{3}{2}$, ОДЗ: $x \geq 1.8$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$5x - 9 = 2x + 3$
$5x - 2x = 3 + 9$
$3x = 12$
$x = 4$
Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \geq 1.8$).
Ответ: 4.

в) $\sqrt{15x + 14} = \sqrt{14x + 13}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 15x + 14 \geq 0 \\ 14x + 13 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x \geq -14 \\ 14x \geq -13 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -\frac{14}{15} \\ x \geq -\frac{13}{14} \end{cases}$.
Поскольку $-\frac{13}{14} \approx -0.928$ и $-\frac{14}{15} \approx -0.933$, то $-\frac{13}{14} > -\frac{14}{15}$. ОДЗ: $x \geq -\frac{13}{14}$.
Возведем обе части в квадрат:
$15x + 14 = 14x + 13$
$15x - 14x = 13 - 14$
$x = -1$
Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < -\frac{13}{14}$. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.

г) $\sqrt{15x - 14} = \sqrt{14x - 13}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 15x - 14 \geq 0 \\ 14x - 13 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x \geq 14 \\ 14x \geq 13 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{14}{15} \\ x \geq \frac{13}{14} \end{cases}$.
Поскольку $\frac{14}{15} \approx 0.933$ и $\frac{13}{14} \approx 0.928$, то $\frac{14}{15} > \frac{13}{14}$. ОДЗ: $x \geq \frac{14}{15}$.
Возведем обе части в квадрат:
$15x - 14 = 14x - 13$
$15x - 14x = 14 - 13$
$x = 1$
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \geq \frac{14}{15}$.
Ответ: 1.

д) $\sqrt[4]{2x + 1} = \sqrt{2x - 1}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 2x + 1 \geq 0 \\ 2x - 1 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -0.5 \\ x \geq 0.5 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \geq 0.5$.
Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в 4-ю степень (наименьшее общее кратное показателей корней 4 и 2):
$(\sqrt[4]{2x + 1})^4 = (\sqrt{2x - 1})^4$
$2x + 1 = (2x - 1)^2$
$2x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 6x = 0$
$2x(2x - 3) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1.5$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($0 < 0.5$), поэтому является посторонним. Корень $x_2=1.5$ удовлетворяет ОДЗ ($1.5 \geq 0.5$).
Ответ: 1,5.

е) $\sqrt[4]{2x - 1} = \sqrt{2x - 3}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 1 \geq 0 \\ 2x - 3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0.5 \\ x \geq 1.5 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \geq 1.5$.
Возведем обе части уравнения в 4-ю степень:
$(\sqrt[4]{2x - 1})^4 = (\sqrt{2x - 3})^4$
$2x - 1 = (2x - 3)^2$
$2x - 1 = 4x^2 - 12x + 9$
$4x^2 - 14x + 10 = 0$
Разделим обе части на 2: $2x^2 - 7x + 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{7 - 3}{4} = 1$, $x_2 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.
Корень $x_1=1$ не удовлетворяет ОДЗ ($1 < 1.5$), поэтому является посторонним. Корень $x_2=2.5$ удовлетворяет ОДЗ ($2.5 \geq 1.5$).
Ответ: 2,5.

364. а) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{3x+7}$;

б) $\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1} = \sqrt{3x+1}$;

в) $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2x+4} = \sqrt{6x+10}$;

г) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x+2} = \sqrt{6x+4}$.

а) $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{3x+7}$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными:
$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -3 \\ x \ge -7/3 \end{cases}$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 2$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешних корней:
$(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{3x+7})^2$
$(x-2) + 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + (x+3) = 3x+7$
$2x+1 + 2\sqrt{x^2+x-6} = 3x+7$
Уединим оставшийся радикал в левой части уравнения:
$2\sqrt{x^2+x-6} = (3x+7) - (2x+1)$
$2\sqrt{x^2+x-6} = x+6$
Поскольку $x \ge 2$, правая часть $x+6$ всегда положительна. Снова возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x^2+x-6})^2 = (x+6)^2$
$4(x^2+x-6) = x^2+12x+36$
$4x^2+4x-24 = x^2+12x+36$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$3x^2 - 8x - 60 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2-4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 64 + 720 = 784$.
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{8+28}{6} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{8-28}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).
$x_1=6$ удовлетворяет условию, так как $6 \ge 2$.
$x_2=-10/3$ не удовлетворяет условию, так как $-10/3 < 2$, и является посторонним корнем.
Выполним проверку для $x=6$ в исходном уравнении:
$\sqrt{6-2} + \sqrt{6+3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{3(6)+7} = \sqrt{18+7} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Решение верное.
Ответ: $6$.

б) $\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1} = \sqrt{3x+1}$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 4 \\ x \ge -1 \\ x \ge -1/3 \end{cases}$
Общая область допустимых значений: $x \ge 4$.
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-4} + \sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{3x+1})^2$
$(x-4) + 2\sqrt{(x-4)(x+1)} + (x+1) = 3x+1$
$2x-3 + 2\sqrt{x^2-3x-4} = 3x+1$
Изолируем корень:
$2\sqrt{x^2-3x-4} = (3x+1) - (2x-3)$
$2\sqrt{x^2-3x-4} = x+4$
В ОДЗ ($x \ge 4$) правая часть $x+4$ положительна. Возводим в квадрат еще раз:
$(2\sqrt{x^2-3x-4})^2 = (x+4)^2$
$4(x^2-3x-4) = x^2+8x+16$
$4x^2-12x-16 = x^2+8x+16$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 - 20x - 32 = 0$
Решаем через дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 400 + 384 = 784$.
$\sqrt{D} = 28$.
$x_1 = \frac{20+28}{6} = \frac{48}{6} = 8$
$x_2 = \frac{20-28}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Сверяем с ОДЗ ($x \ge 4$):
$x_1=8$ подходит ($8 \ge 4$).
$x_2=-4/3$ не подходит ($-4/3 < 4$).
Проверка для $x=8$:
$\sqrt{8-4} + \sqrt{8+1} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{3(8)+1} = \sqrt{24+1} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Верно.
Ответ: $8$.

в) $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2x+4} = \sqrt{6x+10}$
ОДЗ:
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ 2x+4 \ge 0 \\ 6x+10 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1/2 \\ x \ge -2 \\ x \ge -5/3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 1/2$.
Возводим в квадрат:
$(\sqrt{2x-1} + \sqrt{2x+4})^2 = (\sqrt{6x+10})^2$
$(2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(2x+4)} + (2x+4) = 6x+10$
$4x+3 + 2\sqrt{4x^2+6x-4} = 6x+10$
Уединяем радикал:
$2\sqrt{4x^2+6x-4} = (6x+10) - (4x+3)$
$2\sqrt{4x^2+6x-4} = 2x+7$
При $x \ge 1/2$ правая часть $2x+7$ положительна. Возводим в квадрат:
$4(4x^2+6x-4) = (2x+7)^2$
$16x^2+24x-16 = 4x^2+28x+49$
$12x^2 - 4x - 65 = 0$
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-65) = 16 + 3120 = 3136$.
$\sqrt{D} = 56$.
$x_1 = \frac{4+56}{24} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} = 2.5$
$x_2 = \frac{4-56}{24} = \frac{-52}{24} = -\frac{13}{6}$
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 1/2$):
$x_1=5/2$ подходит ($2.5 \ge 0.5$).
$x_2=-13/6$ не подходит ($-13/6 < 1/2$).
Проверка для $x=5/2$:
$\sqrt{2(5/2)-1} + \sqrt{2(5/2)+4} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{6(5/2)+10} = \sqrt{15+10} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Верно.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

г) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x+2} = \sqrt{6x+4}$
ОДЗ:
$\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ 2x+2 \ge 0 \\ 6x+4 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 3/2 \\ x \ge -1 \\ x \ge -2/3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 3/2$.
Возводим в квадрат:
$(\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x+2})^2 = (\sqrt{6x+4})^2$
$(2x-3) + 2\sqrt{(2x-3)(2x+2)} + (2x+2) = 6x+4$
$4x-1 + 2\sqrt{4x^2-2x-6} = 6x+4$
Изолируем корень:
$2\sqrt{4x^2-2x-6} = (6x+4) - (4x-1)$
$2\sqrt{4x^2-2x-6} = 2x+5$
При $x \ge 3/2$, правая часть $2x+5$ положительна. Возводим в квадрат:
$4(4x^2-2x-6) = (2x+5)^2$
$16x^2-8x-24 = 4x^2+20x+25$
$12x^2 - 28x - 49 = 0$
$D = (-28)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-49) = 784 + 2352 = 3136$.
$\sqrt{D} = 56$.
$x_1 = \frac{28+56}{24} = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} = 3.5$
$x_2 = \frac{28-56}{24} = \frac{-28}{24} = -\frac{7}{6}$
Сверяем с ОДЗ ($x \ge 3/2 = 1.5$):
$x_1=7/2$ подходит ($3.5 \ge 1.5$).
$x_2=-7/6$ не подходит ($-7/6 < 1.5$).
Проверка для $x=7/2$:
$\sqrt{2(7/2)-3} + \sqrt{2(7/2)+2} = \sqrt{7-3} + \sqrt{7+2} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5$
$\sqrt{6(7/2)+4} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25}=5$
$5=5$. Верно.
Ответ: $\frac{7}{2}$.