Номер 362, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (362–368):

362. а) $\sqrt{5x+11} = x+1$;

б) $\sqrt{4x+13} = x-8$;

в) $\sqrt{3x+13} = x+3$;

г) $\sqrt{2x+19} = x+2$.

а) $\sqrt{5x + 11} = x + 1$

Решение:

Для решения иррационального уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 11 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим ее:

$\begin{cases} 5x \ge -11 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2.2 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Общим решением системы является $x \ge -1$. Это и есть ОДЗ.

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{5x + 11})^2 = (x + 1)^2$

$5x + 11 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 5x + 1 - 11 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x \ge -1$):

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 \ge -1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 5

б) $\sqrt{4x + 13} = x - 8$

Решение:

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x + 13 \ge 0 \\ x - 8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge -13 \\ x \ge 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3.25 \\ x \ge 8 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 8$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4x + 13})^2 = (x - 8)^2$

$4x + 13 = x^2 - 16x + 64$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 - 16x - 4x + 64 - 13 = 0$

$x^2 - 20x + 51 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 400 - 204 = 196 = 14^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{20 + 14}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$x_2 = \frac{20 - 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 8$):

Корень $x_1 = 17$ удовлетворяет условию, так как $17 \ge 8$.

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию, так как $3 < 8$. Это посторонний корень.

Ответ: 17

в) $\sqrt{3x + 13} = x + 3$

Решение:

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x + 13 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -13 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -13/3 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Так как $-13/3 \approx -4.33$, то ОДЗ: $x \ge -3$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x + 13})^2 = (x + 3)^2$

$3x + 13 = x^2 + 6x + 9$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 + 6x - 3x + 9 - 13 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение $-4$. Корни: $x_1=1$ и $x_2=-4$.

Проверим через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -3$):

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \ge -3$).

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 < -3$). Это посторонний корень.

Ответ: 1

г) $\sqrt{2x + 19} = x + 2$

Решение:

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x + 19 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -19 \\ x \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -9.5 \\ x \ge -2 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge -2$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 19})^2 = (x + 2)^2$

$2x + 19 = x^2 + 4x + 4$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 + 4x - 2x + 4 - 19 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-15$. Корни: $x_1=3$ и $x_2=-5$.

Проверим через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2$):

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge -2$).

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < -2$). Это посторонний корень.

Ответ: 3