Номер 366, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

366. a) $\sqrt{x^2 + 2x + 10} + \sqrt{x^2 + 2x + 17} = 7;$

б) $\sqrt{x^2 + 6x + 10} + \sqrt{x^2 + 6x + 13} = 3;$

в) $\sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{2x^2 + 6x - 4} = 7;$

г) $\sqrt{x^2 - 5x - 23} + \sqrt{2x^2 - 10x - 32} = 5;$

д) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}} = 2;$

е) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 8x + 18}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 8x + 24}} = \sqrt{2}.$

а) $\sqrt{x^2 + 2x + 10} + \sqrt{x^2 + 2x + 17} = 7$

Преобразуем подкоренные выражения, выделив в них полные квадраты. Заметим, что $x^2 + 2x$ является общей частью.

$x^2 + 2x + 10 = (x^2 + 2x + 1) + 9 = (x+1)^2 + 9$

$x^2 + 2x + 17 = (x^2 + 2x + 1) + 16 = (x+1)^2 + 16$

Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x+1)^2 + 9 > 0$ и $(x+1)^2 + 16 > 0$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ – все действительные числа.

Введем замену переменной. Пусть $y = (x+1)^2$. Учитывая, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным, имеем $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$\sqrt{y + 9} + \sqrt{y + 16} = 7$

Это иррациональное уравнение относительно $y$. Уединим один из корней:

$\sqrt{y + 16} = 7 - \sqrt{y + 9}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо убедиться, что правая часть неотрицательна: $7 - \sqrt{y + 9} \ge 0$, что эквивалентно $\sqrt{y + 9} \le 7$, или $y + 9 \le 49$, то есть $y \le 40$.

$(\sqrt{y + 16})^2 = (7 - \sqrt{y + 9})^2$

$y + 16 = 49 - 14\sqrt{y + 9} + (y + 9)$

$y + 16 = 58 + y - 14\sqrt{y + 9}$

Приведем подобные члены:

$14\sqrt{y + 9} = 58 - 16 = 42$

$\sqrt{y + 9} = \frac{42}{14} = 3$

Снова возводим в квадрат:

$y + 9 = 3^2 = 9$

$y = 0$

Полученное значение $y = 0$ удовлетворяет условиям $y \ge 0$ и $y \le 40$, значит, это действительный корень уравнения для $y$.

Теперь выполним обратную замену:

$(x+1)^2 = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$

Ответ: $-1$.

б) $\sqrt{x^2 + 6x + 10} + \sqrt{x^2 + 6x + 13} = 3$

Аналогично предыдущему пункту, выделим полный квадрат в подкоренных выражениях:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$

$x^2 + 6x + 13 = (x^2 + 6x + 9) + 4 = (x+3)^2 + 4$

Подкоренные выражения всегда положительны, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену $y = (x+3)^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{y + 1} + \sqrt{y + 4} = 3$

Рассмотрим функцию $f(y) = \sqrt{y + 1} + \sqrt{y + 4}$. Она является строго возрастающей при $y \ge 0$ как сумма двух возрастающих функций. Следовательно, уравнение $f(y) = 3$ может иметь не более одного корня.

Методом подбора находим, что $y=0$ является решением:

$\sqrt{0 + 1} + \sqrt{0 + 4} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$

Поскольку решение единственное, то $y=0$ – это и есть корень уравнения.

Выполним обратную замену:

$(x+3)^2 = 0 \implies x+3 = 0 \implies x = -3$

Ответ: $-3$.

в) $\sqrt{x^2 + 3x - 1} + \sqrt{2x^2 + 6x - 4} = 7$

Заметим, что второе подкоренное выражение связано с первым: $2x^2 + 6x - 4 = 2(x^2 + 3x - 2)$.

Введем замену $y = \sqrt{x^2 + 3x - 1}$. Тогда $y^2 = x^2 + 3x - 1$, откуда $x^2 + 3x = y^2 + 1$.

Выразим второе подкоренное выражение через $y$:

$2(x^2 + 3x - 2) = 2((y^2+1) - 2) = 2(y^2 - 1)$

Уравнение принимает вид:

$y + \sqrt{2(y^2 - 1)} = 7$

Определим ОДЗ для $y$. Так как $y$ - арифметический квадратный корень, $y \ge 0$. Также должно выполняться условие $2(y^2 - 1) \ge 0 \implies y^2 \ge 1 \implies y \ge 1$.

Решаем уравнение для $y$ при $y \ge 1$:

$\sqrt{2(y^2 - 1)} = 7 - y$

Возводим в квадрат. Условие для возведения: $7-y \ge 0 \implies y \le 7$. Итак, ищем корень на отрезке $[1, 7]$.

$2(y^2 - 1) = (7-y)^2$

$2y^2 - 2 = 49 - 14y + y^2$

$y^2 + 14y - 51 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Корни: $y_1 = 3$, $y_2 = -17$.

Корень $y_2 = -17$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$. Корень $y_1 = 3$ удовлетворяет условию $1 \le 3 \le 7$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 3$

$x^2 + 3x - 1 = 9$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

$(x+5)(x-2) = 0$

$x_1 = -5, x_2 = 2$. Оба корня действительны. Необходимо проверить их по исходной ОДЗ ($x^2+3x-1 \ge 0$ и $2x^2+6x-4 \ge 0$), но так как мы решали через $y=\sqrt{...}=3$, эти условия выполняются автоматически.

Ответ: $-5; 2$.

г) $\sqrt{x^2 - 5x - 23} + \sqrt{2x^2 - 10x - 32} = 5$

Заметим, что $2x^2 - 10x - 32 = 2(x^2 - 5x - 16)$.

Введем замену $y = \sqrt{x^2 - 5x - 23}$. Отсюда $y^2 = x^2 - 5x - 23 \implies x^2 - 5x = y^2 + 23$.

Выразим второе подкоренное выражение через $y$:

$2(x^2 - 5x - 16) = 2((y^2+23) - 16) = 2(y^2 + 7)$

Уравнение принимает вид:

$y + \sqrt{2(y^2 + 7)} = 5$

ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ (как арифметический корень). Выражение $2(y^2+7)$ всегда положительно.

$\sqrt{2(y^2 + 7)} = 5 - y$

Возводим в квадрат при условии $5-y \ge 0 \implies y \le 5$. Ищем корень на отрезке $[0, 5]$.

$2(y^2 + 7) = (5-y)^2$

$2y^2 + 14 = 25 - 10y + y^2$

$y^2 + 10y - 11 = 0$

$(y+11)(y-1) = 0$

Корни: $y_1 = 1, y_2 = -11$. Корень $y_2 = -11$ не подходит по ОДЗ. Корень $y_1 = 1$ подходит, так как $0 \le 1 \le 5$.

Обратная замена:

$\sqrt{x^2 - 5x - 23} = 1$

$x^2 - 5x - 23 = 1$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

$(x-8)(x+3) = 0$

$x_1 = 8, x_2 = -3$.

Ответ: $8; -3$.

д) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 10}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}} = 2$

Выделим полные квадраты в знаменателях:

$x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$

$x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4$

Оба выражения под корнем строго положительны при любых $x$, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Сделаем замену $y = (x-3)^2$, где $y \ge 0$.

$\frac{1}{\sqrt{y+1}} + \frac{2}{\sqrt{y+4}} = 2$

Рассмотрим левую часть как функцию $f(y) = \frac{1}{\sqrt{y+1}} + \frac{2}{\sqrt{y+4}}$. Так как с ростом $y \ge 0$ знаменатели $\sqrt{y+1}$ и $\sqrt{y+4}$ растут, то дроби уменьшаются. Значит, $f(y)$ – строго убывающая функция. Уравнение $f(y)=2$ может иметь не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем $y=0$:

$f(0) = \frac{1}{\sqrt{0+1}} + \frac{2}{\sqrt{0+4}} = \frac{1}{1} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Значит, $y=0$ – единственный корень.

Обратная замена:

$(x-3)^2 = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3$

Ответ: $3$.

е) $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 8x + 18}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 8x + 24}} = \sqrt{2}$

Выделим полные квадраты в знаменателях:

$x^2 - 8x + 18 = (x-4)^2 + 2$

$x^2 - 8x + 24 = (x-4)^2 + 8$

Подкоренные выражения положительны, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Замена $y = (x-4)^2$, где $y \ge 0$.

$\frac{1}{\sqrt{y+2}} + \frac{2}{\sqrt{y+8}} = \sqrt{2}$

Левая часть является строго убывающей функцией от $y$ при $y \ge 0$, поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень. Проверим $y=0$:

$\frac{1}{\sqrt{0+2}} + \frac{2}{\sqrt{0+8}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$y=0$ является единственным корнем.

Обратная замена:

$(x-4)^2 = 0 \implies x-4=0 \implies x=4$

Ответ: $4$.