Номер 372, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

372. a) $\sqrt{a-1}$;

б) $\sqrt[3]{m+n}$;

в) $\sqrt[3]{(x+1)^2}$;

г) $\sqrt[5]{(x-4)^3}$.

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а)

Для того чтобы представить корень в виде степени с рациональным показателем, используется свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. В выражении $\sqrt{a-1}$ показатель корня $n=2$ (квадратный корень), а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.Применяя формулу, получаем:

$\sqrt{a-1} = \sqrt{(a-1)^1} = (a-1)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $(a-1)^{\frac{1}{2}}$.

б)

Используем то же свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. В данном выражении $\sqrt[3]{m+n}$ показатель корня $n=3$, а подкоренное выражение $(m+n)$ можно представить как $(m+n)^1$, то есть $m=1$.Следовательно:

$\sqrt[3]{m+n} = \sqrt[3]{(m+n)^1} = (m+n)^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $(m+n)^{\frac{1}{3}}$.

в)

Для выражения $\sqrt[3]{(x+1)^2}$ применяем свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. Здесь показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=2$. Основанием степени является $(x+1)$.Таким образом:

$\sqrt[3]{(x+1)^2} = (x+1)^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $(x+1)^{\frac{2}{3}}$.

г)

Для выражения $\sqrt[5]{(x-4)^3}$ воспользуемся формулой $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. В этом случае показатель корня $n=5$, а показатель степени выражения под корнем $m=3$. Основание степени — $(x-4)$.Преобразование дает:

$\sqrt[5]{(x-4)^3} = (x-4)^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $(x-4)^{\frac{3}{5}}$.