Страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

369. а) Что понимается под степенью с рациональным показателем $ \frac{p}{q} $ ($ q \ge 2 $) положительного числа $ a $?

б) Сформулируйте теорему, доказанную в этом пункте.

в) Почему в определении степени с рациональным показателем нет противоречия?

а) Под степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \ge 2$), понимают число, равное корню $q$-й степени из числа $a$, возведенного в степень $p$. Таким образом, по определению, $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$. Условие, что основание степени $a$ является положительным числом, является существенным, поскольку оно гарантирует, что корень $q$-й степени из $a^p$ будет определен и действителен для любых указанных $p$ и $q$.
Ответ: Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое, $q$ — натуральное, $q \ge 2$) называется число $\sqrt[q]{a^p}$.

б) Теорема, которая доказывается в этом разделе, устанавливает корректность определения степени с рациональным показателем. Она утверждает, что значение степени не зависит от формы записи рационального показателя в виде дроби. Формулировка теоремы следующая: если $a$ — положительное число, а $\frac{p}{q}$ — рациональное число ($p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, q \ge 2$), то для любого натурального числа $k$ справедливо равенство $a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{pk}{qk}}$.
Ответ: Теорема: для любого положительного числа $a$, любого целого числа $p$ и любых натуральных чисел $q \ge 2$ и $k$ справедливо равенство $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[qk]{a^{pk}}$.

в) Определение степени с рациональным показателем могло бы содержать противоречие, если бы его значение зависело от конкретной дроби, представляющей рациональный показатель. Например, рациональное число $0,5$ можно представить как $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{6}$ и так далее. Если бы значение $a^{\frac{1}{2}}$ отличалось от значения $a^{\frac{2}{4}}$, определение было бы противоречивым. Однако теорема, сформулированная в пункте б), доказывает, что $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[qk]{a^{pk}}$. Это означает, что $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ и $a^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{a^2}$ равны, так как по свойству корней $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}$. Поскольку любое представление рационального числа $r$ в виде дроби можно получить из несократимой дроби $\frac{p}{q}$ умножением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число $k$, то значение степени $a^r$ не зависит от выбора дроби. Это и гарантирует отсутствие противоречий в определении.
Ответ: В определении нет противоречия, так как значение степени $a^r$ для рационального $r = \frac{p}{q}$ не зависит от выбора конкретной дроби, представляющей число $r$. Доказано, что для любых эквивалентных дробей $\frac{p}{q} = \frac{pk}{qk}$ результат вычисления, то есть $\sqrt[q]{a^p}$ и $\sqrt[qk]{a^{pk}}$, будет одинаковым.

Запишите в виде степени с рациональным показателем¹ (370–372):

370. а) $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $\sqrt{\frac{4}{3}}$;

б) $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[3]{7}$, $\sqrt[3]{0,1}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{2,5}$;

в) $\sqrt[3]{2^2}$, $\sqrt[4]{3^5}$, $\sqrt[6]{7^5}$, $\sqrt{3^7}$, $\sqrt[5]{2^3}$.

Для того чтобы записать корень в виде степени с рациональным показателем, используется основное свойство: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. В этой формуле $a$ — это основание (подкоренное выражение), $n$ — показатель корня, а $m$ — степень, в которую возведено основание. Если показатель корня $n$ не указан (квадратный корень), он по определению равен 2. Если степень $m$ у основания не указана, она по определению равна 1.

а)
Для $\sqrt{2}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{5}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{7}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{\frac{1}{3}}$: показатель корня $n=2$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$.
Для $\sqrt{1\frac{1}{3}}$: сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда $\sqrt{1\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $2^{\frac{1}{2}}$; $5^{\frac{1}{2}}$; $7^{\frac{1}{2}}$; $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$; $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{2}}$.

б)
Для $\sqrt[3]{4}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$. Также можно представить $4$ как $2^2$, тогда $\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{7}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{0.1}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{0.1} = (0.1)^{\frac{1}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=1$. Следовательно, $\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$.
Для $\sqrt[3]{2.5}$: преобразуем десятичную дробь в обыкновенную $2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Тогда $\sqrt[3]{2.5} = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} = (\frac{5}{2})^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $4^{\frac{1}{3}}$; $7^{\frac{1}{3}}$; $(0.1)^{\frac{1}{3}}$; $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$; $(\frac{5}{2})^{\frac{1}{3}}$.

в)
Для $\sqrt[3]{2^2}$: показатель корня $n=3$, степень основания $m=2$. Следовательно, $\sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.
Для $\sqrt[4]{3^5}$: показатель корня $n=4$, степень основания $m=5$. Следовательно, $\sqrt[4]{3^5} = 3^{\frac{5}{4}}$.
Для $\sqrt[6]{7^5}$: показатель корня $n=6$, степень основания $m=5$. Следовательно, $\sqrt[6]{7^5} = 7^{\frac{5}{6}}$.
Для $\sqrt{3^7}$: это квадратный корень, значит $n=2$. Степень основания $m=7$. Следовательно, $\sqrt{3^7} = 3^{\frac{7}{2}}$.
Для $\sqrt[5]{2^3}$: показатель корня $n=5$, степень основания $m=3$. Следовательно, $\sqrt[5]{2^3} = 2^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $2^{\frac{2}{3}}$; $3^{\frac{5}{4}}$; $7^{\frac{5}{6}}$; $3^{\frac{7}{2}}$; $2^{\frac{3}{5}}$.

371. а) $\sqrt[4]{a^3}$, $\sqrt[4]{a}$, $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x^2}$, $\sqrt{x^3}$;

б) $\sqrt{2a}$, $\sqrt[3]{3x}$, $\sqrt[4]{5x^3}$, $\sqrt{2xy^3}$, $\sqrt[5]{8a^2b^3}$.

Задача состоит в упрощении выражений путем вынесения множителя из-под знака корня. Это возможно, если степень множителя в подкоренном выражении больше или равна показателю корня. Будем считать, что все переменные принимают значения, при которых выражения определены (подкоренные выражения корней четной степени неотрицательны).

Для выражения $\sqrt[4]{a^3}$: показатель степени подкоренного выражения ($3$) меньше показателя корня ($4$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$

Для выражения $\sqrt[4]{a}$: показатель степени подкоренного выражения ($1$) меньше показателя корня ($4$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt[4]{a}$

Для выражения $\sqrt{x}$: показатель степени подкоренного выражения ($1$) меньше показателя корня ($2$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt{x}$

Для выражения $\sqrt[3]{x^2}$: показатель степени подкоренного выражения ($2$) меньше показателя корня ($3$), поэтому вынести множитель нельзя. Выражение уже упрощено.

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$

Для выражения $\sqrt{x^3}$: показатель степени ($3$) больше показателя корня ($2$), поэтому можно вынести множитель. Область определения выражения ($\sqrt{x^3}$) требует, чтобы $x^3 \ge 0$, а значит $x \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение: $\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x}$.
Вынесем множитель: $\sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x}$.
Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x^2} = x$.
В результате получаем $x\sqrt{x}$.

Ответ: $x\sqrt{x}$

Аналогично пункту а), упростим каждое выражение, вынося множители из-под знака корня, где это возможно.

Для выражения $\sqrt{2a}$: показатели степеней у множителей $2$ и $a$ равны $1$, что меньше показателя корня $2$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt{2a}$

Для выражения $\sqrt[3]{3x}$: показатели степеней у множителей $3$ и $x$ равны $1$, что меньше показателя корня $3$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[3]{3x}$

Для выражения $\sqrt[4]{5x^3}$: показатели степеней у множителей $5$ ($1$) и $x$ ($3$) меньше показателя корня $4$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[4]{5x^3}$

Для выражения $\sqrt{2xy^3}$: показатель степени у переменной $y$ ($3$) больше показателя корня ($2$), поэтому можно вынести множитель. Будем считать, что переменные неотрицательны ($x \ge 0, y \ge 0$), чтобы выражение имело смысл.

Разложим подкоренное выражение: $\sqrt{2xy^3} = \sqrt{2x \cdot y^2 \cdot y}$.
Вынесем множитель: $\sqrt{y^2} \cdot \sqrt{2xy}$.
Так как $y \ge 0$, то $\sqrt{y^2} = y$.
В результате получаем $y\sqrt{2xy}$.

Ответ: $y\sqrt{2xy}$

Для выражения $\sqrt[5]{8a^2b^3}$: представим $8$ как $2^3$, получим $\sqrt[5]{2^3a^2b^3}$. Показатели степеней всех множителей ($3$ у $2$, $2$ у $a$, $3$ у $b$) меньше показателя корня $5$. Выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[5]{8a^2b^3}$

372. a) $\sqrt{a-1}$;

б) $\sqrt[3]{m+n}$;

в) $\sqrt[3]{(x+1)^2}$;

г) $\sqrt[5]{(x-4)^3}$.

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а)

Для того чтобы представить корень в виде степени с рациональным показателем, используется свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. В выражении $\sqrt{a-1}$ показатель корня $n=2$ (квадратный корень), а показатель степени подкоренного выражения $m=1$.Применяя формулу, получаем:

$\sqrt{a-1} = \sqrt{(a-1)^1} = (a-1)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $(a-1)^{\frac{1}{2}}$.

б)

Используем то же свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. В данном выражении $\sqrt[3]{m+n}$ показатель корня $n=3$, а подкоренное выражение $(m+n)$ можно представить как $(m+n)^1$, то есть $m=1$.Следовательно:

$\sqrt[3]{m+n} = \sqrt[3]{(m+n)^1} = (m+n)^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $(m+n)^{\frac{1}{3}}$.

в)

Для выражения $\sqrt[3]{(x+1)^2}$ применяем свойство $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. Здесь показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=2$. Основанием степени является $(x+1)$.Таким образом:

$\sqrt[3]{(x+1)^2} = (x+1)^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $(x+1)^{\frac{2}{3}}$.

г)

Для выражения $\sqrt[5]{(x-4)^3}$ воспользуемся формулой $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$. В этом случае показатель корня $n=5$, а показатель степени выражения под корнем $m=3$. Основание степени — $(x-4)$.Преобразование дает:

$\sqrt[5]{(x-4)^3} = (x-4)^{\frac{3}{5}}$

Ответ: $(x-4)^{\frac{3}{5}}$.